Phạm vi của hàng rào bằng chứng tự nhiên

Rào cản chứng minh tự nhiên của Razborov và Rudich nói rằng theo các giả định về mật mã đáng tin cậy, người ta không thể hy vọng tách NP khỏi P / poly bằng cách tìm các thuộc tính tổ hợp của các hàm có tính xây dựng, lớn và hữu ích. Có một số kết quả nổi tiếng quản lý để trốn tránh rào cản. Ngoài ra còn có một số bài viết thảo luận về những sơ hở có thể có trong ba điều kiện, chẳng hạn như kết quả của Chow cho thấy rào cản rất nhạy cảm với các vi phạm yếu kém về quy mô, và một bài báo gần đây của Chapman và Williamsgợi ý cách tránh khả năng tránh rào cản bằng cách thư giãn điều kiện hữu ích. Câu hỏi của tôi là liệu có bất kỳ ví dụ, hoặc thậm chí khả năng, để tránh hàng rào bằng chứng tự nhiên không phải bằng cách vi phạm tính xây dựng, độ lớn hoặc tính hữu dụng, mà bằng cách hoàn toàn nằm ngoài phạm vi của nó. Điều đó không rõ ràng đối với tôi tại sao mọi phương pháp chứng minh tiềm năng cần phải dựa trên việc tìm "thuộc tính" tổ hợp và sau đó phân vùng tất cả các chức năng thành những phương thức làm và không đáp ứng thuộc tính. Tại sao khung hoạt động này phải áp dụng cho tất cả các bằng chứng có thể, và nếu không, thì các loại bằng chứng khác sẽ trông như thế nào?

Hãy là một hàm, và để cho C là một lớp các thuật toán làm việc trên lát hữu hạn của f . Mỗi mạch thấp hơn ràng buộc nào là một bằng chứng cho thấy f ∉ C , đối với một số f và một số C . Hãy xem xét "thuộc tính tổ hợp của các hàm Boolean" P f , sao cho$f: \{0,1\}^* \rightarrow \{0,1\}$$C$$f$$f \notin C$$f$$C$${\cal P}_f$

và P f (g)=0với mọig≠f.${\cal P}_f(f) = 1$${\cal P}_f(g) = 0$$g \neq f$

Một bằng chứng cho thấy là bằng chứng cho thấy P f có ích với C , theo thuật ngữ của Razborov và Rudich. Đó là, "tính hữu dụng" là hoàn toàn không thể tránh khỏi - không có cách nào để "nằm ngoài phạm vi của nó". Nếu bạn đã chứng minh một mạch thấp hơn ở tất cả, bạn đã đưa ra một số thuộc tính hữu ích.$f \notin C$${\cal P}_f$$C$

Lưu ý rằng, nếu , thì P f cũng mang tính xây dựng, theo thuật ngữ của Razborov và Rudich. Vì vậy, đối với các hàm f có thể tính toán được trong E nhưng không có trong P / p o l y , tính xây dựng cũng sẽ áp dụng cho ít nhất một thuộc tính của các hàm Boolean hữu ích đối với P / p o l y .$f \in TIME[2^{O(n)}]$${\cal P}_f$$f$$E$$P/poly$$P/poly$

Vì vậy, Razborov và Rudich là cơ bản hơn bạn nghĩ ban đầu.

Bạn đã đúng: định lý bằng chứng tự nhiên là về các tính chất tự nhiên (và chỉ không chính thức về bằng chứng). Chính Razborov đã viết hai bài báo cùng lúc nhìn vào lớp bằng chứng chính thức và giới hạn phức tạp thấp hơn:

• Số học giới hạn và giới hạn dưới trong độ phức tạp Boolean , 1995
• Không thể chứng minh được các giới hạn thấp hơn về kích thước mạch trong một số đoạn nhất định của số học bị ràng buộc , 1995

Nghiên cứu đầu tiên chính thức hóa các bằng chứng ràng buộc thấp hơn hiện có trong các đoạn số học yếu (giới hạn trên về độ cứng của việc chứng minh lý thuyết phức tạp giới hạn dưới).

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$ZFC$$ZF$$PA$$PV$$PV$$\mathsf{P}$

$PV$$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

$PV$

$\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$$\mathsf{P}$