Một loại vấn đề NP-đầy đủ?

Liệu có ý nghĩa khi xem xét một danh mục của tất cả các vấn đề hoàn thành NP, với các hình thái là giảm thời gian đa thời gian giữa các trường hợp khác nhau? Có ai đã từng xuất bản một bài báo về điều này, và nếu vậy, tôi có thể tìm thấy nó ở đâu?

Khu vực bạn muốn xem xét được gọi là "lý thuyết phức tạp ngầm". Một cái tên ngẫu nhiên và không đầy đủ cho Google là Martin Hofmann, Patrick Baillot, Ugo Dal Lago, Simona Ronchi Della Rocca và Kazushige Terui.

Kỹ thuật cơ bản là liên kết các lớp phức tạp với các hệ thống con của logic tuyến tính (cái gọi là "logic tuyến tính nhẹ"), với ý tưởng rằng việc loại bỏ cắt cho hệ thống logic phải được hoàn thành cho lớp phức tạp nhất định (như LOGSPACE, PTIME, v.v.). Sau đó, thông qua Curry-Howard, bạn có được một ngôn ngữ lập trình trong đó chính xác các chương trình trong lớp đã cho là có thể biểu thị được. Như bạn có thể mong đợi từ việc đề cập đến logic tuyến tính, tất cả các hệ thống này sau đó làm phát sinh các loại khép kín đơn hình của các hương vị khác nhau, khiến bạn có một đặc tính hoàn toàn đại số và độc lập với các lớp phức tạp khác nhau.

Một trong những điều làm cho khu vực này trở nên thú vị là không phức tạp truyền thống hay phương pháp logic / PL hoàn toàn phù hợp.

Do các thể loại liên quan thường có cấu trúc khép kín, các phương pháp tổ hợp được ưa thích bởi các nhà lý thuyết phức tạp thường bị phá vỡ (vì các chương trình bậc cao có xu hướng chống lại các đặc tính tổ hợp). Một ví dụ điển hình của điều này là sự thất bại của các phương pháp cú pháp để xử lý tương đương theo ngữ cảnh. Tương tự, các phương thức ngữ nghĩa cũng gặp khó khăn, vì chúng thường quá mở rộng (vì các nhà ngữ nghĩa truyền thống đã muốn che giấu cấu trúc bên trong của các hàm). Ví dụ đơn giản nhất mà tôi biết ở đây là việc đóng LOGSPACE theo thành phần: đây chỉ có thể là AFAIK do tính toán phù hợp và chọn lọc và bạn không thể coi các vấn đề là hộp đen thuần túy.

Bạn có thể cũng muốn làm quen với ngữ nghĩa trò chơi và Hình học tương tác của Girard (và tiền thân của chúng, cấu trúc dữ liệu cụ thể của Kahn-Plotkin-Berry) nếu bạn nghiêm túc tham gia vào lĩnh vực này - ý tưởng về các biểu diễn chuyển mã thông báo cao hơn tính toán đơn hàng được sử dụng trong công việc này cung cấp rất nhiều trực giác cho ICC.

Vì tôi đã chỉ ra vai trò trung tâm của các thể loại đơn trong tác phẩm này, bạn có thể tự hỏi một cách hợp lý về các kết nối với GCT của Mulmuley. Thật không may, tôi không thể giúp bạn ở đây, vì đơn giản là tôi không biết đủ. Paul-André Melliès có thể là một người tốt để hỏi, mặc dù.

Có thể phân loại nhiều thứ, nhưng điều đó không nhất thiết có nghĩa là chúng là những danh mục thú vị. Vì vậy, câu trả lời cho "nó có ý nghĩa" phụ thuộc vào ý của bạn.

Để dự đoán liệu nó có thú vị hay không, giả sử một số định nghĩa phù hợp về mức giảm sao cho nó tạo thành một thể loại, NPC. Các câu hỏi lý thuyết về thể loại sẽ là những câu hỏi như hỏi liệu NPC có các giới hạn hoặc thông số khác nhau hay không (ví dụ: sản phẩm, sản phẩm sao chép, pullback, đẩy, ...). Vì vậy, trước khi bắt đầu công việc chính thức hóa mọi thứ, sẽ tốt hơn nếu bạn ngồi xuống và suy nghĩ về những giới hạn / ý nghĩa này có ý nghĩa gì và liệu ý nghĩa đó có thú vị không. Nếu chúng ta giả sử NPC có pullback, thì khả năng lấy pullback của hai lần giảm có nghĩa gì đặc biệt không? Những câu hỏi như thế này có vẻ thú vị nếu chúng ta muốn tìm hiểu vấn đề hoàn thành NP "nguyên tử" là gì, hoặc có thể kết hợp nhiều vấn đề hoàn thành NP (hoặc mức giảm của chúng) như thế nào;

Một số câu hỏi tiếp theo sẽ là những thứ như: NPC có bất kỳ danh mục con thú vị nào không? NPC có phải là một danh mục con của bất kỳ danh mục lớn hơn thú vị nào không? Chúng ta đã biết rất nhiều về cách các vấn đề hoàn thành NP liên quan đến các loại vấn đề khác, vì vậy câu trả lời giả định cho những câu hỏi này là "tất nhiên". Nhưng để đưa ra một quan điểm tốt hơn về nó, việc xem xét các mối quan hệ này từ góc độ lý thuyết thể loại đưa ra những quan điểm nào khác là gì? Một điều mà CT có thể đưa ra là câu hỏi liệu có bất kỳ sự điều chỉnh không tầm thường nào giữa NPC và một danh mục khác hay không. Tất nhiên, các điều chỉnh chủ yếu thú vị khi các danh mục đằng sau chúng rất thú vị, vì vậy nếu NPC không có nhiều cấu trúc đặc biệt thì việc biết về các điều chỉnh NPC sẽ không thực sự mang lại nhiều.

Đối với các tài liệu tham khảo cụ thể, tôi không biết về bất kỳ ai ngoài các liên kết trong các nhận xét của Sadeq, Ramprasad, Kaveh nên cung cấp ở đâu đó để bắt đầu.