Giới thiệu về phỏng đoán mở rộng tập nhỏ

Cho đồ thị và a δ > 0 người ta muốn tính h ( G , δ ) = m i n | S | ≤ δ | V | φ ( S ) . ( Φ ( S ) = E ( S , ˉ S$G=(V,E)$$\delta > 0$$h(G,\delta)=min_{\vert S\vert \leq \delta \vert V \vert } \phi(S)$ ) Giả thuyết mở rộng tập hợp nhỏ "nói rằng đó là NP-Hard để xác định xem giá trị này nằm dướiϵhay trên1-ϵvớiϵ=1/O(log($\phi(S) = \frac{ E(S,\bar{S}) }{d min \{\vert S \vert , n - \vert S\vert \} }$$\epsilon$$1-\epsilon$$\epsilon = 1/O(log(\frac{1}{\delta} ) )$

Đối với một bối cảnh ghi chú rằng là hằng số Cheeger được biết là NP-hard to ràng buộc. Nhưng có vẻ như tồn tại giá trị củaδ(nào?) Màφ(G,δ)có thể được tính trong thời gian đa thức?$h(G,\delta = \frac{1}{2})$$\delta$$\phi(G,\delta)$

Hướng tới sự hiểu biết về phỏng đoán mở rộng tập nhỏ dường như chứng minh tuyên bố này,

• Nếu là khoảng thời gian các vector riêng Laplacian của G mà giá trị riêng của họ ít hơn một số bước sóng ∈ [ 0 , 1 ] và nếu mỗi w ∈ W đáp ứng E i [ w 4 i ] ≤ C ( E i [ w 2 i ] ) 2 thì với mọi tập S sao cho | S | ≤ δ | V | chúng ta có$W$$G$$\lambda \in [0,1]$$w \in W$$\mathbb{E}_i[w_i^4 ] \leq C ( E_i [w_i ^2 ] )^2$$S$$\vert S \vert \leq \delta \vert V \vert$$\phi(S) \geq \lambda(1 - \sqrt{C \delta} )$

[Tham khảo, Bổ đề 8 tại đây, http://www.boazbarak.org/sos/files/lec2d.pdf ]

Câu hỏi của tôi là

• Làm thế nào để định lý trên giúp hiểu các phỏng đoán đã nêu ở đầu? Mối quan hệ giữa hai người là gì?

• Tại sao nên vectơ như tồn tại như yêu cầu trong định lý? Trực giác đằng sau nhìn vào w như vậy là gì?$w$$w$

• Trực giác đằng sau việc chọn giá trị cụ thể đó của như trong tuyên bố của phỏng đoán là gì?$\epsilon$

Tôi nghĩ rằng những điều sau đây sẽ trả lời câu hỏi của bạn, mặc dù nó không chính xác theo cùng một thứ tự.

Việc xây dựng ban đầu của phỏng đoán bộ mở rộng nhỏ nói rằng, Tương tự với Unique Games Conjecture, cứ mỗi tồn tại δ > 0 sao cho nó là NP-khó để xác định xem trong một đồ thị G đó là "YES" Trường hợp tồn tại một δ -sized thiết lập với sự mở rộng ít hơn ε hoặc đó là "kHÔNG" trường hợp mỗi δ bộ -sized có mở rộng ít nhất 1 - ε . Các giấy Raghavendra, Steuerer, và Tulsiani https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/papers/ssereductions.pdf cho thấy rằng đây là tương đương với các trường hợp ε $\epsilon >0$$\delta>0$$G$$\delta$$\epsilon$$\delta$$1-\epsilon$ và trong thực tế các trường hợp trong trường hợp NO, cho mọi δ ' ≥ δ , bộ kích thước δ ' có ít nhất việc mở rộng giống như họ sẽ trong " ε -noisy Gaussian đồ thị" (xem bài viết cho tuyên bố chính xác). Lý do cho mối quan hệ ε = O ( log ( 1 / δ ) $\epsilon = O(\log (1/\delta))$$\delta' \geq \delta$$\delta'$$\epsilon$$\epsilon = O(\log (1/\delta))$là bởi vì đây là mối quan hệ giữa các tham số đó trong biểu đồ nhiễu Gaussian. Đây quả của Raghavendra et al có thể được coi như là nhỏ bộ analog mở rộng cho các giấy khọt, Kindler, Mossell và O'Donnell người cho thấy một kết quả tương tự cho các trò chơi độc đáo, đem lại cho một mối quan hệ rất chính xác giữa các thông số (mà trong bối cảnh trò chơi độc đáo được gọi là kích thước bảng chữ cái) và ε .$1/\delta$$\epsilon$

Kết quả mà bạn đề cập được thảo luận trong phần ghi chú bài giảng của tôi là từ Phần 8 trong bài viết của tôi với Brandao, Harrow, Kelner, Steurer và Zhou ( https://www.cs.cornell.edu/~dsteurer/ con / reatcontract.pdf ). Những gì chúng tôi chỉ ra ở đó, đại khái là, một đồ thị là một bộ mở rộng tập hợp nhỏ khi và chỉ khi khoảng của các hàm riêng tương ứng với các giá trị riêng thấp của Laplacian của nó không chứa một vectơ "phân tích thưa thớt".

Trực giác là như sau: xem xét hai thái cực sau:

1) Một vectơ ngẫu nhiên . Trong trường hợp này, phân phối các mục của w xấp xỉ phân phối Gaussian, và do đó điều này thỏa mãn rằng E i w 4 i = O ( E i w 2 i ) 2 .$w$$w$$\mathbb{E}_i w_i^4 = O(\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

2) Một vectơ $w$ là vector đặc trưng của một tập hợp các biện pháp (tức là nó có 1 trong các tọa độ thuộc tập, và 0 ở những người khác). Trong trường hợp này, E i w 4 i = δ » δ 2 = ( E i w 2 i ) 2 .$\delta$$1$$0$$\mathbb{E}_i w_i^4 = \delta \gg \delta^2 = (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$

Bây giờ, khoảng nói, không gian con tương ứng với giá trị riêng nhỏ hơn $W$$\epsilon$ của tương ứng Laplacian để bộ có mở rộng tối đa là trong đồ thị. Vì vậy, nếu có tồn tại một δ -sized thiết lập với sự mở rộng như vậy thì sẽ có một vector w (cụ thể là chiếu của vector đặc trưng của bộ này để W ) với E i w 4 i » ( E i w 2 i ) 2 . Hướng khác (khó khăn hơn để chứng minh nhưng hóa ra là đúng) là nếu có một vectơ $\epsilon$$\delta$$w$$W$$\mathbb{E}_i w_i^4 \gg (\mathbb{E}_i w_i^2)^2$$w$với tính chất này thì chúng ta cũng có thể tìm thấy một tập hợp có số đo với độ mở rộng không quá tốt.$o(1)$