Là Cheeger hằng

Tôi đã đọc rất nhiều bài báo xác định hằng số Cheeger của đồ thị là -hard. Nó có vẻ là một định lý dân gian, nhưng tôi chưa bao giờ tìm thấy một trích dẫn hoặc bằng chứng cho tuyên bố này. Tôi nên cho ai tín dụng cho nó? Trong một bài báo cũ (Số lượng đồ thị Isoperimetric, J. Comb. Theory B, 1989) Mohar chỉ chứng minh khẳng định này "cho các đồ thị có nhiều cạnh". $\mathsf{NP}$

reference-request graph-theory spectral-graph-theory

— Delio M
nguồn

Câu trả lời:

Tôi quá gặp phải vấn đề này khi tôi đang viết một bài báo mà yêu cầu một trích dẫn để độ cứng mở rộng cạnh (hoặc Cheeger không đổi) được định nghĩa là . Bài báo kinh điển của Leighton và Rao trên dải phân cách ( http://dl.acm.org/citation.cfm?id=331526 ) đề cập rằng đây là một vấn đề khó khăn và đề cập đến bài báo của Garey, Johnson và Stockmeyer ( http: / /www.scTHERirect.com/science/article/pii/0304397576900591 $\min_{S \subset V, |S| \leq |V|/2} |\delta(S)|/|S|$ ). Tôi không thể tìm ra trong một thời gian những gì họ đã đề cập vì không có đề cập đến việc mở rộng cạnh trong bài báo được đề cập. Tôi đã liên lạc với Avi Wigderson về điều này. Cuối cùng nó đã xuất hiện rằng người ta có thể sử dụng độ cứng của Max-Cut như được thể hiện trong bài báo của hãng Voyy et al để tương đối dễ dàng cho thấy việc mở rộng cạnh là khó. Tôi quên các chi tiết bây giờ nhưng không khó để tạo lại. Bài viết của Blum etal về độ cứng của việc kiểm tra xem đồ thị có phải là siêu tập trung không ngụ ý trực tiếp độ cứng của sự giãn nở cạnh hay không. Họ là kỹ thuật không cùng một vấn đề.

— Chandra Chekuri
nguồn

Bài viết của tôi sử dụng độ cứng mở rộng cạnh là bài dưới đây onlinel Library.wiley.com/doi/10.1002/net.20165/abab . Chúng tôi đề cập đến bài báo Leighton-Rao và bài viết của Garey, Johnson, Stockmeyer về độ cứng của việc mở rộng cạnh.

— Chandra Chekuri

Cảm ơn! Vì vậy, về mặt kỹ thuật, độ cứng của việc xác định hằng số Cheeger không được chứng minh trong tài liệu?

— Delio M.

@DelioM. tài liệu tham khảo Kaibel trong một trong những câu trả lời của Mohammad có bằng chứng đầy đủ. Đó chỉ là mức giảm của Garey-Johnson-Stockmeyer từ mức cắt tối đa không trọng số xuống mức chia đôi tối thiểu, với một bằng chứng ngắn gọn rằng trong các biểu đồ được tạo ra bằng cách giảm mức cắt thưa nhất là một phép chia.

— Sasho Nikolov

Mặc dù, tôi phải thú nhận rằng tôi bị lạc. Tôi luôn nghĩ rằng max-cut có liên quan đến vấn đề mô tả "cách thức lưỡng cực" một đồ thị. Làm thế nào điều này có thể giúp tìm "làm thế nào kết nối" một biểu đồ là? Tương đương, làm thế nào giá trị riêng thấp thứ hai của Laplacian vô nghĩa có thể ràng buộc giá trị riêng thấp thứ hai của laplacian? Đó là một ràng buộc thấp hơn là rõ ràng, nhưng một giới hạn trên?

— Delio M.

@DelioM. Max Cut trước tiên được giảm xuống Min Bisection bằng cách thêm

đỉnh và lấy phần bù của đồ thị kết quả. Vì vậy, mức giảm này liên quan đến mức độ gần với một đồ thị lưỡng cực với cách kết nối một đồ thị khác (liên quan đến phần bù của đồ thị thứ nhất).

n

$n$

— Sasho Nikolov

Bằng chứng thực tế về độ cứng của tính toán hằng số Cheeger (hoặc mở rộng cạnh) đã được Kaibel đưa ra trong một báo cáo kỹ thuật bằng cách giảm từ vấn đề MAX Cut (Xem định lý 2). Bằng chứng này là một phần mở rộng của bằng chứng về -hardness của vấn đề Equicut được đưa ra bởi Garey, Johnson và Stockmeyer trong một số vấn đề đồ thị hoàn chỉnh NP đơn giản . $NP$ $NP$

V. Kaibel: Về việc mở rộng đồ thị của 0/1-polytopes. Báo cáo kỹ thuật arXiv: math.CO/0112146, 2001

EDIT : Lập luận dưới đây là không chính xác , như được chỉ ra bởi Chekuri, và để lại cho mục đích giáo dục.

Đây không phải là một tài liệu tham khảo như bạn yêu cầu nhưng nó giải thích tình trạng văn hóa dân gian của kết quả độ cứng.

Dưới đây là một ý tưởng bằng chứng về tính đầy đủ của CoNP trong việc quyết định xem một đồ thị khối được kết nối có mở rộng cạnh hay không và do đó xác định hằng số Cheeger có cứng CoNP hay không. $h(G)$

Các vấn đề chia làm hai đoạn tối thiểu là -complete $NP$ cho các biểu đồ khối được kết nối. Ở đây chúng tôi muốn quyết định xem một đồ thị có số nguyên có thể được phân chia thành hai phần có kích thước bằng nhau sao cho số cạnh bị cắt nhỏ hơn . $G$ $k$ $k$

Lưu ý phần bù của bài toán này tương đương với việc quyết định xem đồ thị có giãn nở hay không (mọi phân vùng cân bằng của đều cắt các cạnh nhiều hơn ). $G$ $V$ $k$

PS Arora trong hội thảo này tuyên bố rằng -hard để nhận ra đồ thị mở rộng mở rộng cạnh). http://www.cs.princeton.edu/~zdvir/apx11slides/arora-slides.pptx $CoNP$ $\alpha$

— Mohammad Al-Turkistany
nguồn

Bằng chứng này cũng không hoạt động, bởi vì kích thước của phép chia đôi không nói lên điều gì về sự mở rộng cạnh của chính nó. Ví dụ, một đồ thị bị ngắt kết nối trên

đỉnh có thể có chia đôi tối thiểu

2 n

$2n$

(n - 2)^{2}

$(n-2)^2$

— Sasho Nikolov

Biểu đồ

được kết nối biểu đồ khối và đối với bài toán chia đôi tối thiểu của lớp này là NP-Complete.

G

$G$

— Mohammad Al-Turkistany

@SashoNikolov Tôi chưa bao giờ thấy ai quan tâm đến việc mở rộng các biểu đồ bị ngắt kết nối.

— Mohammad Al-Turkistany

Arora, không phải Aurora. Tôi không nghi ngờ rằng quyết định

h (G) \geq α

$h(G) \geq \alpha$

@ MohammadAl-Turkistany: Lấy hai đồ thị hình khối không cầu nối được kết nối là các bộ mở rộng, một có 2 đỉnh và cái kia có n đỉnh và nối chúng với ba cạnh bằng cách thêm 3 đỉnh mới ở mỗi bên thông qua 3 cạnh chia. Bây giờ phần chia nhỏ sẽ lớn (

Ω (n)

$\Omega(n)$