Làm thế nào nhanh chóng một thuật toán không xác định cho một vấn đề hoàn thành EXPTIME phải được ngụ ý ?

Làm thế nào nhanh chóng một thuật toán không xác định cho một vấn đề hoàn thành EXPTIME phải được ngụ ý ? Một thuật toán không xác định thời gian đa thức sẽ ngay lập tức ngụ ý điều này bởi vì nhưng không ai tin . Nếu tôi đã thực hiện đúng đại số (xem bên dưới), định lý phân cấp thời gian vẫn sẽ cung cấp hàm ý cho thời gian chạy cho bất kỳ siêu đa thức , nhưng đối với tất cả những gì tôi biết có những vấn đề hoàn chỉnh với việc giảm hiệu quả cho phép các thuật toán chậm hơn đưa ra kết quả. Có vấn đề hoàn thành EXPTIME trong đó chúng ta biết một số thứ như hoặc $P \neq NP$ $P \neq EXPTIME$ $NP = EXPTIME$ $P \neq NP$ $O(2^n/f(n))$ $f(\cdot)$ $2^n/n$ $2^n/n^2$ với nondeterminism là đủ?

Làm rõ "đại số": ngụ ý bằng một đối số đệm, do đó, thuật toán cho một vấn đề hoàn chỉnh EXPTIME cũng sẽ là một vấn đề cho một vấn đề hoàn chỉnh NEXPTIME. Đối với superpolynomial điều này sẽ mâu thuẫn với định lý phân cấp thời gian không xác định vì chúng ta có thể giảm sử dụng một số NTIME . $P = NP$ $EXPTIME=NEXPTIME$ $2^n/f(n)$ $f(\cdot)$ $L \in$ $(2^n)$

cc.complexity-theory

— Vô danh
nguồn

Tôi nghĩ rằng bạn thực sự cần thời gian chạy để có được mâu thuẫn từ định lý phân cấp thời gian. Ngoài ra tôi nghĩ rằng điều này nghe có vẻ không chắc chắn.

2no(1) $2^{n^{o(1)}}$

— Sasho Nikolov

f $f$

⊆ $\subseteq$

(f(n)) $(f(n))$

⊈ $\not\subseteq$

ps: nếu bạn đăng ký một tài khoản, bạn có thể chỉnh sửa câu hỏi của mình dễ dàng hơn.

— Kaveh

Tôi tin rằng Sasho là chính xác, nếu sao cho là và là và có thể rút gọn thành trong thời gian , thì vẫn có thể không có bất kỳ mâu thuẫn nào vì thể hiện của có thể lớn hơn lớn hơn .

EXPTIME=NEXPTIME $EXPTIME=NEXPTIME$

L $L$

EXPTIME $EXPTIME$

L′ $L'$

NEXPTIME $NEXPTIME$

L′ $L'$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L∈NTIME(2n√k) $L \in NTIME(2^{\sqrt[k]{n}})$

L $L$

O(nk) $O(n^k)$

L′ $L'$

— Joe Bebel

Câu trả lời:

Tôi nghĩ rằng nó dễ dàng hơn để xoay nó.

Nếu , sau đó đối với một số không đổi , và bất kỳ . Vì không chứa $\mathsf{P}=\mathsf{NP}$ $\mathsf{NTIME}(T(n)) \subset \mathsf{DTIME} ((T(n))^c)$ $c$ $T(n) > n$ $\mathsf{DTIME} ((T(n)^c)$ , các phương tiện này, chúng ta không thể giải quyết, nói rằng tất cả các vấn đề trong trong đối với một số $\mathsf{DTIME}(T(n)^{c}\log T(n)) \subset \mathsf{DTIME}(T(n)^{c+1})$ $\mathsf{DTIME}(2^n)$ $\mathsf{NTIME} (2^{\epsilon n})$ $\epsilon$ . Vì vậy, một tổ chức phi xác định thời gian thuật toán cho một vấn đề hoàn chỉnh cho dưới giảm gần như tuyến tính sẽ là đủ để chứng minh . $2^{o(n)}$ $\mathsf{DTIME} (2^n)$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$

— Russell Impagliazzo
nguồn

Cảm ơn đã dành thời gian để cung cấp một lời giải thích ngắn hơn về việc tại sao

ngụ ý

. DTIME(2n)⊆NTIME(2o(n)) $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$

P≠NP $P \neq NP$

— Michael Wehar

Và, cảm ơn vì đã chỉ ra rằng định lý phân cấp thời gian xác định hoặc không xác định có thể được sử dụng. :)

— Michael Wehar

Câu trả lời đơn giản: Với mỗi bài toán - có một hằng số sao cho nếu chúng ta có thể giải bài toán trong $EXPTIME$ $hard$ $c$ , sau đó. $NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ $P \neq NP$

Lưu ý: Hằng số xuất phát từ các vụ nổ kích thước cá thể xuất phát từ việc giảm. $c$

Biện minh: Gọi là một vấn đề - . Điều đó có nghĩa rằng tất cả các vấn đề trong là đa thức thời gian rút gọn về . Trong thực tế, chúng ta có thể hiển thị nhiều hơn. $X$ $EXPTIME$ $hard$ $EXPTIME$ $X$

Vấn đề chấp nhận cho thời gian giáp máy Turing xác định là trong và do đó là đa thức thời gian rút gọn về . $2^n$ $DTIME(n \cdot 2^n) \subseteq EXPTIME$ $X$

Do đó, phải có một số hằng số cố định sao cho mọi vấn đề trong là thời gian đa thức có thể rút gọn thành trong đó kích thước cá thể là . Đó là, trường hợp của kích thước n được giảm với các trường hợp kích thước cho . $c$ $DTIME(2^n)$ $X$ $O(n^c)$ $O(n^c)$ $X$

Bây giờ, nếu chúng ta có $X \in NTIME(2^{o(n^{\frac{1}{c}})})$ , then $DTIME(2^n) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ . However, this implies $P \neq NP$ (see below for details).

Additional Details: One can show that $P=NP$ $\Leftrightarrow$ $\exists c^{\prime}$ $\forall k$ $NTIME(n^k) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}k})$ .

In other words, if you can solve an $NP$ - $complete$ problem in polynomial time, then there is a uniform way of speeding up any problem in $NP$ .

Now, let's suppose that $P=NP$ . By the preceding (with $k$ =1) we get a constant $c^{\prime}$ such that

$NTIME(n) \subseteq DTIME(n^{c^{\prime}}).$

Next, we can use padding to scale up this inclusion and get

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}).$

Then, by the deterministic time hierarchy theorem, we have

$NTIME(2^{n}) \subseteq DTIME(2^{c^{\prime}n}) \subsetneq DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n})$ for any

$\epsilon > 0$ .

Therefore, we couldn't have $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{n}).$

Further, we couldn't have $DTIME(2^{n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ because by padding we would get $DTIME(2^{(c^{\prime}+\epsilon)n}) \subseteq NTIME(2^{o(n)})$ .

Further Question: Does anyone have any simple examples of $EXPTIME$ - $complete$ problems where we can easily determine the instance size blow-up constant $c$ ?

— Michael Wehar
nguồn

The acceptance problem for

$DTIME(2^n)$ is itself

$EXPTIME$ -complete, that is, the language

$L = \{\langle T, x, 1^m \rangle\}$ consisting of DTMs

$T$ that on input

$x$ accept within

$2^m$ steps, because every language

$L' \in EXPTIME$ has some

$T$ that accepts

$x \in L'$ in time

$2^{O(|x|^k)})$ for some

$k$ , so that proper choice of

$m = O(|x|^k)$ reduces

$L'$ to

$L$ . In particular the constant (

$c=1$ ) then seems to show that the speedup (that is,

$f(n)$ ) must be exponential if to show

$P \ne NP$ , if you choose this particular

$EXPTIME$ -complete language.

— Joe Bebel

@JoeBebel Hi Joe, thanks for the comment. I think it's valuable that you further considered this problem

$L$ . Here, we can say more than just

$L \in NTIME(2^{o(n)})$ implies

$P \neq NP$ . For this particular artificial problem

$L$ , we may be able to say something like for any

$k$ ,

$L \in NTIME(2^{\frac{n}{k}})$ implies

$NTIME(n) \nsubseteq DTIME(n^{k-\epsilon})$ for all

$\epsilon > 0$ .

— Michael Wehar