Có biết tồn tại các hàm với thuộc tính tổng trực tiếp sau đây không?

Câu hỏi này có thể được hỏi hoặc trong khuôn khổ độ phức tạp của mạch Boolean, hoặc trong khuôn khổ của lý thuyết phức tạp đại số, hoặc có thể trong nhiều cài đặt khác. Thật dễ dàng để hiển thị, bằng cách đếm các đối số, tồn tại các hàm Boolean trên N đầu vào yêu cầu nhiều cổng theo cấp số nhân (mặc dù tất nhiên chúng ta không có bất kỳ ví dụ rõ ràng nào). Giả sử tôi muốn đánh giá cùng một hàm M lần, đối với một số nguyên M, trên M các bộ đầu vào riêng biệt, sao cho tổng số đầu vào là MN. Đó là, chúng tôi chỉ muốn đánh giá cho cùng một chức năng mỗi lần.$f(x_{1,1},...,x_{1,N}), f(x_{2,1},...,x_{2,N}),...,f(x_{M,1},...,x_{M,N})$$f$

Câu hỏi đặt ra là: có biết rằng tồn tại một chuỗi các hàm (một hàm cho mỗi N) sao cho với mọi N, với bất kỳ M nào, tổng số cổng yêu cầu ít nhất bằng M lần một hàm số mũ của N? Đối số đếm đơn giản dường như không hoạt động vì chúng tôi muốn kết quả này giữ cho tất cả M. Người ta có thể đưa ra các tương tự đơn giản của câu hỏi này trong lý thuyết phức tạp đại số và các lĩnh vực khác.$f$

Vâng, đó là sai: có thể đánh giá các bản sao M của BẤT K f chỉ sử dụng cổng O (N (M + 2 ^ N)) có thể nhỏ hơn nhiều so với M * exp (N) (trên thực tế, bạn được khấu hao tuyến tính độ phức tạp cho hàm mũ M). Tôi không nhớ một tài liệu tham khảo, nhưng tôi nghĩ rằng nó có thể đi một cái gì đó như sau:

Đầu tiên thêm 2 ^ N đầu vào giả tưởng chỉ là hằng số 0 ... 2 ^ N-1 và bây giờ biểu thị đầu vào N-bit thứ i của xi (vì vậy với i <= 2 ^ N, chúng ta có xi = i và cho 2 ^ N <i <= 2 ^ N + M chúng ta có đầu vào ban đầu). Bây giờ chúng ta tạo một bộ ba cho mỗi đầu vào M + 2 ^ N: (i, xi, fi) trong đó fi là f (i) cho đầu vào 2 ^ N đầu tiên (một hằng số được gắn vào mạch) và fi = "*" nếu không thì. Bây giờ chúng ta sắp xếp các bộ ba (i, xi, fi) theo khóa xi và để bộ ba thứ j (i_j, x_j, f_j) từ đây, chúng ta tính toán một bộ ba (i_j, x_j, g_j) bằng cách cho g_j f_j nếu f_j không phải là "*" và đặt g_j là g_ (j-1) nếu không. Bây giờ sắp xếp các bộ ba mới trở lại theo khóa i_j và bạn đã có câu trả lời đúng tại các địa điểm chính xác.

Có một kết quả khác làm hạn chế hơn nữa các khả năng cho loại hiện tượng tổng hợp trực tiếp mà bạn đang tìm kiếm. Một kết quả ban đầu nổi tiếng của Shannon (được thắt chặt bởi Lupanov) cho thấy tất cả các hàm Boolean đều có thể tính toán được bằng các mạch có kích thước và bởi đối số đếm của Shannon, điều này rất chặt chẽ đối với các hàm ngẫu nhiên. Người ta có thể nghĩ rằng, ít nhất là đối với các giá trị vừa phải của m , độ phức tạp mạch của các trường hợp tính toán m của một f ngẫu nhiên sẽ có tỷ lệ là m 2 n / n . Tuy nhiên, Dietmar Uhlig cho thấy trong$O(2^n/n)$$m$$m$$f$$m 2^n/n$

"Mạng tính toán các hàm Boolean cho nhiều giá trị đầu vào"

rằng điều này là sai: miễn là , người ta có thể tínhm cáctrường hợp của bất kỳfnàovới một mạch có kích thướcO( 2 n / n) -chi phí tương tự như đối vớim=1!$m = 2^{o(n/\log n)}$$m$$f$$O(2^n/n)$$m = 1$

Tôi không thể tìm thấy một bản sao không có kiểm soát trực tuyến hoặc trang chủ cho tác giả, nhưng tôi đã xem qua bài báo trong thủ tục này:

Độ phức tạp của hàm Boolean (Sê-ri Bài giảng của Hội Toán học Luân Đôn)

Về độ phức tạp đại số, tôi không biết một ví dụ về độ phức tạp theo cấp số nhân giảm xuống mức độ phức tạp theo cấp số mũ, nhưng ít nhất có một ví dụ đơn giản rằng độ phức tạp của các bản sao M có thể nhỏ hơn đáng kể so với M độ phức tạp của một bản sao :

Đối với ma trận n * n "ngẫu nhiên" A, độ phức tạp của dạng song tuyến được xác định bởi A, (hàm f_A (x, y) = xAy, trong đó x và y là 2 vectơ có độ dài n) là Omega (n ^ 2 ) - điều này có thể được hiển thị bằng một đối số thứ nguyên "giống như đếm" vì bạn cần n ^ 2 "địa điểm" trong mạch để đặt các hằng số. Tuy nhiên, với n cặp vectơ khác nhau (x ^ 1, y ^ 1) ... (x ^ n, y ^ n), bạn có thể đặt x vào các hàng của ma trận n * n X và tương tự như y vào các cột của ma trận Y, sau đó đọc tất cả các câu trả lời x ^ iAy ^ i từ đường chéo của XAY, trong đó điều này được tính trong các hoạt động n ^ 2.3 (hoặc hơn) bằng cách nhân ma trận nhanh, ít hơn đáng kể so với n * n ^ 2.

Điều này đã được nghiên cứu và giải quyết bởi Wolfgang Paul, người đã chỉ ra về cơ bản những gì được thảo luận.