Có các thuật toán phụ cho PLANAR SAT được biết đến không?

Một số vấn đề NP-cứng mà là mũ trên đồ thị nói chung là subexponential trên đồ thị phẳng vì treewidth là tại hầu hết và chúng là cấp số nhân trong treewidth. $4.9 \sqrt{|V(G)|}$

Về cơ bản, tôi quan tâm nếu có các thuật toán phụ cho PLANAR SAT hoàn thành NP.

Hãy là một công thức CNF trên các biến và khoản -thứ là . $\phi$ $x_i$ $i$ $c_i$

Các tỷ lệ đồ thị p. 5 của là trên đỉnh và các cạnh khi và chỉ khi hoặc . $G$ $\phi$ $V(G)=\{x_i\} \cup \{c_i\}$ $(x_i,c_i)$ $x_i \in c_i$ $\lnot x_i \in c_i$

là trong Phẳng SAT nếu đồ thị tỷ lệ mắc là phẳng. $\phi$

Có các thuật toán phụ cho SATAR SAT về mặt không? $\phi$

Tôi không loại trừ khả năng giảm SAT để Phẳng SAT để làm điều này có thể, mặc dù SAT vẫn là mũ và là subexponential vì sự gia tăng kích thước. $\phi$

graph-theory sat reductions

— joro
nguồn

Có một điều kiện bổ sung trong định nghĩa của PLANAR SAT, các biến phải được kết nối với một chu kỳ thông qua chúng. Những gì bạn đã mô tả được gọi là PLANAR * SAT.

— domotorp

@domotorp Tôi nghĩ rằng tôi đã trích dẫn chính xác và bài báo tuyên bố đồ thị là lưỡng cực. Có thể trong các giấy tờ khác cùng tên được sử dụng cho một cái gì đó khác.

— joro

Vâng, bạn có thể áp dụng phẳng tách lý cùng với lập trình năng động và có được thời gian chạy

, trong đó

là số đỉnh trong đồ thị. Tôi giả sử bạn muốn một cái gì đó tốt hơn?

2^{O (\sqrt{n})}

$2^{O( \sqrt{n})}$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

@ SarielHar-Peled Yours sẽ là một câu trả lời, không cần thứ gì tốt hơn (mặc dù tốt hơn là được chào đón). Lỗi cho tôi các công thức khác nhau có thể có cùng một biểu đồ - phủ định một nghĩa đen.

— joro

Việc giảm tiêu chuẩn từ SAT để phẳng SAT cho thấy theo giả thuyết thời gian theo cấp số nhân,

2^{o (\sqrt{n})}

$2^{o(\sqrt{n})}$ là không thể, vì vậy thuật toán từ nhận xét của Sariel là tối ưu cho các hằng số theo cấp số nhân. (đây là vì cái mà domotorp gọi là PLANAR * SAT, nhưng tôi khá chắc chắn rằng giới hạn dưới cũng có thể được hiển thị cho PLANAT SAT)

— daniello

Vâng, bạn có thể áp dụng phẳng tách lý cùng với lập trình năng động và có được thời gian chạy , trong đólà số đỉnh trong đồ thị. Ý tưởng là bạn thử tất cả các phép gán có thể cho các đỉnh biến trên dấu phân cách và tất cả các biến được đề cập trong mệnh đề trong dấu phân cách (giả sử mỗi mệnh đề có số lượng biến số). $2^{O(\sqrt{n})}$ $n$

Nếu một nút mệnh đề lớn, thì bạn phải thông minh hơn một chút - bạn phải đoán xem nên gán nó cho chương trình con bên trái hay bên phải. Các chi tiết cho những thứ như vậy có xu hướng lộn xộn và không ngay lập tức, vì vậy tôi sẽ không cung cấp thêm chi tiết. Tôi nghĩ rằng các bài báo gốc của Lipton và Tarjan đã giải quyết các vấn đề tương tự bằng cách sử dụng các ý tưởng tương tự, nếu bộ nhớ của tôi phục vụ tôi đúng.

— Sariel Har-Peled
nguồn

Nói chung, người ta biết rằng nếu biểu đồ tỷ lệ của biểu mẫu SAT có treewidth nhiều nhất thì

có thể kiểm tra mức độ thỏa mãn trong thời gian

. Đồ thị hai mặt phẳng với

đỉnh được đảm bảo có treewidth

k

$k$

2^{O (k)} p o l y (| ϕ |)

$2^{O(k)} poly(|\phi|)$

n

$n$

do định lý phân cách phẳng. Tổng quát hơn đồ thị đó loại trừ bất kỳ đồ thị cố định

có một nhỏ đã treewidth

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

nơi hằng số phụ thuộc vào kích thước của

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

H

$H$

— Chandra Chekuri

Thật vậy, nếu công thức có

biến và

mệnh đề thì treewidth nhiều nhất là

n

$n$

m

$m$

(trái ngược với

thô hơn

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

ràng buộc). các

O (\sqrt{n + m})

$O(\sqrt{n+m})$

trên ràng buộc sau từ chiếc mũ thực tế các biến là một bìa đỉnh của đồ thị tỷ lệ mắc, và đồ thị phẳng với một nắp đỉnh của kích thước

có treewidth

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

n

$n$

O (\sqrt{n})

$O(\sqrt{n})$

— daniello

Đây cũng là bài tập 41 của Thuật toán chính xác 2003 của Woeginger cho các vấn đề NP-Hard: Một khảo sát . dx.doi.org/10.1007/3-540-36478-1_17

— András Salamon