Sự tối ưu hóa của một lý thuyết loại hình không tưởng

Hầu hết các lý thuyết loại mà tôi biết là dự đoán mà theo tôi là

Void : Prop
Void = (x : Prop) -> x

không được đánh máy tốt trong hầu hết các định lý định lý vì loại pi này thuộc cùng vũ trụ Propvà không phải như vậy Prop : Prop. Điều này làm cho chúng dự đoán và không tuân theo các định nghĩa thiếu sót như trên. Tuy nhiên, rất nhiều "ngôn ngữ bảng đen" như System F hoặc CoC trên thực tế là không bắt buộc. Trong thực tế, sự thiếu sót này là rất quan trọng để xác định hầu hết các cấu trúc không được bao gồm nguyên thủy trong ngôn ngữ.

Câu hỏi của tôi là tại sao một người muốn từ bỏ sự thiếu sót vì nó có sức mạnh trong việc xác định các cấu trúc logic? Tôi đã nghe một vài người nhận xét rằng sự thiếu sót làm tăng "tính toán" hoặc "cảm ứng" nhưng tôi gặp khó khăn khi tìm một lời giải thích cụ thể.

lo.logic type-theory

— Daniel Gratzer
nguồn

Là các nhà lý thuyết loại dự đoán, hoặc lý thuyết của họ?

— Andrej Bauer

Tôi cho rằng Coq không phải là "hầu hết các định lý" đối với bạn, bởi vì nó chấp nhận định nghĩa trên.

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Tại sao không phải cả hai? :) Tôi đoán coq có một vũ trụ dự đoán cũng như một vũ trụ dự đoán. Tôi cho rằng câu hỏi của tôi là. "Tại sao thiết lập không phải là bắt buộc là tốt?" trong bối cảnh của coq

— Daniel Gratzer

Tại sao Loại không bắt buộc? > Kiểm tra loại. Loại: Loại. Vâng chết tiệt :)

— cody

Không cần phải làm phiền các nhà phát triển! Imprimateative Set khá khó chịu, và đặc biệt, nó mâu thuẫn với một số nguyên tắc lựa chọn khá tự nhiên và cái gọi là "trung gian loại trừ thông tin" forall P : Type, {P} + {~P}, vì bộ + giả định này ngụ ý không liên quan bằng chứng (và không phảinat là bằng chứng không liên quan). Xem ví dụ: coq.inria.fr/l Library / Coq.Logic.ClassicalUniqueChoice.html và coq.inria.fr/l Library / Coq.Logic.Berardi.html

— cody

Câu trả lời:

Tôi sẽ giải thích ý kiến của tôi thành một câu trả lời. Nguồn gốc của lý thuyết loại dự đoán gần như cũ như chính lý thuyết loại, vì một trong những động lực của Russel là cấm các định nghĩa "tuần hoàn" được xác định là một phần của nguồn gốc của sự không nhất quán và nghịch lý của thế kỷ XIX. Thierry Coquand đưa ra một cái nhìn tổng quan ở đây . Trong lý thuyết này, các vị từ trên một "cấp độ" hoặc loại, thuộc về các loại của cấp độ "tiếp theo", trong đó có một số cấp độ vô hạn (có thể đếm được).

Trong khi hệ thống phân cấp dự đoán của Russel (dường như) đủ để loại bỏ những nghịch lý đã biết, hóa ra nó rất khó sử dụng như một hệ thống nền tảng. Cụ thể, việc xác định ngay cả một thứ đơn giản như hệ thống số thực là vô cùng khó khăn, và vì vậy, Russel đã đưa ra một tiên đề, Tiên đề về khả năng giảm mà quy định rằng tất cả các cấp đều "giảm" xuống một. Không cần phải nói, đây không phải là một sự phát triển thỏa đáng.

Tuy nhiên, trái với các tuyên bố tạm thời "có hại" (như hiểu không hạn chế), tiên đề này dường như không đưa ra bất kỳ mâu thuẫn nào. Các công thức tiếp theo của các lý thuyết nền tảng ( lý thuyết loại đơn giản , lý thuyết tập hợp của Zermelo ) đã chấp nhận chúng bán buôn, làm cho các họ vị ngữ (định lượng trên toàn bộ vũ trụ của các tập hợp), dự đoán ở cùng cấp độ.

Khoảng năm 1971, Martin-Löf đã đưa ra lý thuyết loại phụ thuộc, trong đó cả nguyên tắc này và các tiên đề xa hơn Type : Typeđều nắm giữ. Hệ thống này hóa ra không nhất quán vì những lý do tinh tế: nghịch lý người Nga ngây thơ không thể diễn ra (theo cách đơn giản), tuy nhiên một mã hóa thông minh cho phép tìm thấy mâu thuẫn. Điều này đã thúc đẩy một cuộc khủng hoảng đức tin tương tự như của Russel, dẫn đến lý thuyết loại dự đoán với các vũ trụ mà chúng ta biết và yêu thích.

Có một cách để sửa chữa lý thuyết để cho phép "vô tội" một lý thuyết tập hợp la Zermelo, dẫn đến các lý thuyết loại như Giải tích công trình, nhưng thiệt hại đã được thực hiện, và "trường phái Thụy Điển" của lý thuyết loại có xu hướng bác bỏ tính không phù hợp.

Một số điểm:

Điều này có liên quan gì đến toán học trực giác? Câu trả lời là không nhiều. Vào đầu thế kỷ XX, các nhà toán học có xu hướng kết hợp việc sử dụng các nguyên tắc tuần hoàn / quy tắc với lý luận không mang tính xây dựng (trực giác cho rằng lý luận bẩm sinh dường như giả định một vũ trụ toán học đã có từ trước , cũng như sử dụng trung gian bị loại trừ). Tuy nhiên, có những lý thuyết dự đoán hoàn toàn trực giác (như IZF ). Những người quan tâm đến chủ nghĩa trực giác vẫn có xu hướng quan tâm đến chủ nghĩa tiên đoán vì một số lý do (tất nhiên tôi có tội về điều này).
Bạn có thể làm gì trong toán học dự đoán? Như Martin chỉ ra trong câu trả lời của mình, Hermann Weyl (không bị nhầm lẫn với Andre Weil) đã bắt đầu một chương trình cố gắng khám phá sức mạnh biểu cảm của các hệ thống dự đoán, lấy điểm khởi đầu là các hệ thống dự đoán có sức mạnh biểu cảm giữa Số học Peano và Thứ hai Số học , được hầu hết đồng ý là không phù hợp với hầu hết các tiêu chuẩn (và có thể so sánh với Hệ thống F về mặt lý thuyết loại). Chương trình này sau đó được mệnh danh là "toán học ngược" vì nó đã cố gắng phân loại sức mạnh của các định lý toán học đã biết theo các tiên đề cần thiết để chứng minh chúng (mặt trái của cách tiếp cận thông thường). Cáctrang wikipedia cung cấp một cái nhìn tổng quan tốt; chương trình này khá thành công, trong đó phần lớn toán học thế kỷ XIX có thể dễ dàng được cung cấp trong các hệ thống rất yếu. Vẫn còn là một câu hỏi mở cho dù chương trình này có thể mở rộng ra các kết quả gần đây hơn, giả sử, lý thuyết loại cao hơn (sự nghi ngờ là câu trả lời là "có, với nỗ lực rất lớn").

— cody
nguồn

Bài viết hay của bạn chứa một nhận xét phụ rất thú vị: "hầu hết đều đồng ý là không phù hợp với hầu hết các tiêu chuẩn ". Nó chỉ ra một cái gì đó tinh tế, cụ thể là nó không rõ ràng chính xác nơi ranh giới giữa dự đoán và dự đoán nên được rút ra.

— Martin Berger

Điều đó đúng, nhưng điểm mà tôi hơi thất bại khi đưa ra là dòng, nếu có , nên được vẽ trước .

{P A}_{2}

$\mathrm{PA}_2$

— cody

Một chiều là kiểu suy luận. Ví dụ, suy luận kiểu hệ thống F không thể quyết định được, nhưng một số đoạn dự đoán của nó có suy luận kiểu (một phần) có thể quyết định.

Một khía cạnh khác là tính nhất quán như một logic. Các nhà tư tưởng khác biệt trong lịch sử đã cảm thấy một chút lo lắng về việc có nền tảng tiên quyết của toán học. Rốt cuộc, đó là một hình thức lý luận tròn. Tôi nghĩ rằng H. Weyl có thể là người đầu tiên hoặc, một trong những người đầu tiên, người đã cố gắng tái cấu trúc càng nhiều toán học càng tốt theo cách dự đoán ... chỉ để ở bên an toàn. Chúng tôi đã học được rằng các thông tư của sự thiếu sót không phải là vấn đề trong toán học cổ điển, theo nghĩa là không có mâu thuẫn nào được rút ra từ các định nghĩa giả định 'thuần hóa'. Theo thời gian, chúng tôi đã học cách tin tưởng họ. Lưu ý rằng điều này (không có nghịch lý) là một kinh nghiệmquan sát! Tuy nhiên, phần lớn sự phát triển của lý thuyết bằng chứng, với các cấu trúc thứ tự kỳ lạ của nó có mục đích cuối cùng là mong muốn xây dựng tất cả toán học 'từ bên dưới', tức là không có định nghĩa bắt buộc. Chương trình này chưa hoàn thành. Trong những năm gần đây, sự quan tâm đến các nền tảng dự đoán của toán học đã chuyển từ lo lắng về nghịch lý sang nội dung tính toán của các bằng chứng, điều thú vị vì nhiều lý do. Hóa ra các định nghĩa thiếu sót làm cho việc trích xuất nội dung tính toán trở nên khó khăn. Một góc độ khác trong lo lắng về tính nhất quán đến từ truyền thống Curry-Howard. Lý thuyết loại ban đầu của Martin-Löf là không hợp lý ... và không có căn cứ. Sau cú sốc đó, ông chỉ đề xuất các hệ thống dự đoán, nhưng kết hợp với các loại dữ liệu quy nạp để lấy lại nhiều sức mạnh của sự thiếu sót.

— Martin Berger
nguồn

Công bằng mà nói, Russel là một trong những người đầu tiên thử . Mặc dù vậy, anh ta đã thừa nhận thất bại (với tiên đề về khả năng giảm thiểu).

— cody

@cody Tôi không quá quen thuộc với lịch sử của những lần thử này. Weyl (và S. Feferman) đã thành công như thế nào trong nỗ lực của họ? MLTT / HOTT chắc chắn hoạt động, tôi nói.

— Martin Berger

Về cơ bản, Weyl đã cực kỳ thành công, tức là hầu hết các phân tích có thể được chính thức hóa mà không có sự hấp dẫn đối với toán học bậc 2 (bắt buộc). Phần công việc đã trở thành một phần của Toán học đảo ngược , định lượng chính xác mức độ "thiếu sót" mà bạn cần.

— cody

Không đúng khi lý thuyết bằng chứng có thể "với các cấu trúc thứ tự kỳ lạ của nó" xây dựng tất cả toán học mà không có định nghĩa bắt buộc. Vấn đề là lý thuyết bằng chứng không được thực hiện trong chân không, nhưng trong một hệ thống chính thức, bản thân nó sẽ có một số quy tắc lý thuyết chứng minh rằng nó không có khả năng chứng minh cơ sở tốt. Vì vậy, việc theo đuổi này chắc chắn không bao giờ có thể chạm đến 'đáy'. Một số nhà logic học cho rằng Γ [0] là thứ tự tạm thời đầu tiên, và nếu vậy thì bạn bị mắc kẹt và không thể dự đoán được ATR0. Nếu không, thì bạn cần phải chứng minh rằng Γ [0] là dự đoán. Bạn sẽ như thế nào

— user21820

@ user21820 Tôi không nói rằng tất cả toán học có thể được xây dựng mà không có định nghĩa bắt buộc, đó là một câu hỏi mở.

— Martin Berger

Các lý thuyết loại có xu hướng hướng tới sự tiên đoán chủ yếu là lý do kỹ thuật xã hội.

Đầu tiên, khái niệm không chính thức về sự thiếu sót có thể được chính thức hóa theo (ít nhất) theo hai cách khác nhau. Đầu tiên, chúng tôi nói rằng một lý thuyết loại như Hệ thống F là không bắt buộc vì định lượng kiểu có thể nằm trong tất cả các loại (bao gồm cả loại định lượng thuộc về). Vì vậy, chúng ta có thể định nghĩa các toán tử nhận dạng và thành phần chung:

\begin{array}{lclll} i d & : & \forall a . a \to a & = & Λ a . λ x . x \\ c o m p o s e & : & \forall a, b, c . (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & Λ a, b, c . λ f, g . λ x . g (f x) \end{array}

$\begin{array}{lclll} \mathit{id} & : & \forall a.\; a \to a & = & \Lambda a.\;\lambda x.\;x\\ \mathit{compose} & : & \forall a, b, c.\; (a \to b) \to (b \to c) \to (a \to c) & = & \Lambda a,b,c.\lambda f, g. \lambda x. g(f\;x) \end{array}$

Tuy nhiên, lưu ý rằng trong lý thuyết tập hợp tiêu chuẩn (ví dụ ZFC), các hoạt động này không thể xác định là đối tượng . Không có thứ gọi là "hàm nhận dạng" trong lý thuyết tập hợp, bởi vì hàm là mối quan hệ giữa bộ miền và bộ tên miền và nếu một hàm duy nhất có thể là hàm nhận dạng, thì bạn có thể sử dụng nó để xây dựng một bộ của tất cả các bộ. (Về cơ bản, đây là cách John Reynold chỉ ra rằng đa hình kiểu System-F không có mô hình lý thuyết tập hợp.)

$X$ $S$ $P$ $X$ $P$ $X$

Vì vậy, sự thiếu sót theo kiểu F không tương thích với một cái nhìn ngây thơ về các kiểu như các bộ. Nếu bạn đang sử dụng lý thuyết loại như một trợ lý chứng minh, thật tuyệt khi có thể chuyển toán học tiêu chuẩn dễ dàng sang công cụ của bạn, và vì vậy hầu hết mọi người thực hiện các hệ thống như vậy chỉ đơn giản là loại bỏ sự thiếu sót. Bằng cách này, mọi thứ đều có cách đọc theo lý thuyết tập hợp và lý thuyết kiểu, và bạn có thể diễn giải các kiểu trong bất kỳ thời trang nào thuận tiện nhất cho bạn.

— Neel Krishnaswami
nguồn

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$