Độ phức tạp của sự phục hồi của ma trận kề từ hình vuông của nó

Tôi quan tâm đến vấn đề sau: Cho một ma trận , có một đồ thị vô hướng trên đỉnh có ma trận kề không bình phương là ma trận đó không? $n\times n$ $n$

Là sự phức tạp tính toán của vấn đề này được biết đến?

Nhận xét:

Tất nhiên điều này cũng có thể được gọi là một vấn đề tìm kiếm, trong đó bạn được cung cấp ma trận cho một ma trận kề của một đồ thị vô hướng và vấn đề là tìm bất kỳ ma trận kề nào (của một đồ thị vô hướng) sao cho . $A^2$ $A$ $B$ $B^2 = A^2$
Motwani và Sudan ( Tính toán gốc của đồ thị là khó , 1994) và Kutz ( Độ phức tạp của tính toán gốc ma trận Boolean , 2004) cho thấy các vấn đề tương tự nhưng khác biệt với vấn đề này là NP-hard - họ chỉ xem xét bình phương của ma trận kề trong ma trận Boolean phép nhân.

cc.complexity-theory graph-theory

— Cá Ben
nguồn

Vấn đề tương đương với việc quyết định sự tồn tại của

vectơ với các sản phẩm bên trong theo cặp.

n

$n$

— Mohammad Al-Turkistany

Gần đây, có một bài viết giải quyết câu hỏi này cho ma trận ngẫu nhiên hơn là ma trận kề ( arxiv.org/abs/1411.7380 ). Thuộc tính của một hình vuông trong bối cảnh này được gọi là tính chia hết và được hiển thị là NP hoàn chỉnh trong bài báo mà tôi đã đề cập.

— Māris Ozols

@ MohammadAl-Turkistany chúng tương đương nhau như thế nào? Giải pháp cho vấn đề của OP yêu cầu cấu trúc bổ sung hơn các vectơ chung (giá trị nguyên, các chỉ số nhất định phải bằng 0, v.v.).

— Jeremy Kun

Điều này nên liên quan đến việc kiểm tra nếu một chuỗi độ là đồ họa. Lưu ý rằng trong

, đường chéo biểu thị chuỗi độ và

số hàng xóm chung của các đỉnh

. Do đó, nó là một hạn chế cho vấn đề trình tự mức độ đồ họa. Không có ý tưởng làm thế nào để giải quyết nó mặc dù.

A^{2}

$A^2$

(A^{2})_{i j}

$(A^2)_{ij}$

i, j

$i,j$

— SamiD

Câu trả lời:

Được biết, bình phương của đồ thị lưỡng cực có thể được nhận ra trong thời gian đa thức (Xem phần này ). Nói chung, có một đặc điểm của sự phức tạp của vấn đề này dựa trên đường kính của đồ thị cơ bản.

Gần đây, có một biến thể tối ưu hóa được nghiên cứu, đưa ra thuật toán của FPT cho vấn đề khi bạn muốn kiểm tra xem đồ thị có căn bậc hai với nhiều nhất (ít nhất các cạnh) cho một số nhất định hay . $s$ $s$

— Nikhil
nguồn

Cảm ơn đã phản ứng, nhưng kết quả bạn đề cập không liên quan đến vấn đề này - họ giả định, như trong giấy Motwani và Sudan, rằng ma trận nhất định là một ma trận kề và mục đích là để tìm thấy một đồ thị có ma trận kề bình dưới Phép nhân ma trận Boolean là ma trận đã cho. Trong khi đó trong bài toán này, nó không phải là Boolean, mà là phép nhân ma trận số nguyên. Nói cách khác, vấn đề này không phải là căn bậc hai của đồ thị khi họ sử dụng thuật ngữ này.

— Cá Ben

@BenFish Rất tiếc. Hiểu sai câu hỏi của bạn. Đối với ma trận Integer, tôi không thấy cách nào tốt hơn là chỉ xấp xỉ căn bậc hai của ma trận, mặc dù tôi cho rằng bạn quan tâm đến việc tính toán đây là căn bậc hai của đồ thị có trọng số (và tôi không biết làm thế nào để làm điều đó)

— Nikhil

@Nikhil căn bậc hai của một ma trận không phải là duy nhất, do đó, việc này không giải quyết được câu hỏi

— Lev Reyzin

@LevReyzin Bạn đúng. Nói chung, tôi nghĩ rằng tính duy nhất có thể được đặc trưng từ phổ của ma trận (có thể chúng không cung cấp một điều kiện cần và đủ). Có một số kết quả thú vị được biết đến với ma trận ngẫu nhiên - Xem eprints.ma.man.ac.uk/1241/01/covered/MIMS_ep2009_21.pdf

— Nikhil

Nếu đồ thị cơ bản là một đồ thị ngẫu nhiên, thưa thớt, người ta có thể giải bài toán "căn bậc hai đồ thị" trong thời gian đa thức; Điều này cũng đúng với đồ thị có trọng số. Ví dụ về các bài viết sử dụng ý tưởng này là Tìm các cộng đồng chồng chéo trong các mạng xã hội và các giới hạn có thể chứng minh cho việc học một số đại diện sâu sắc . Bất kỳ ý tưởng về các thuật toán tương tự cho rễ khối đồ thị, rễ thứ tư, vv?

— Duyên
nguồn