Thứ hai nhỏ

Có bất cứ điều gì được biết về - -cut nhỏ thứ hai trong mạng lưu lượng không? Hay nói chung hơn về vấn đề này: $s$ $t$

Đầu vào: Một mạng và một số , tất cả đều ở dạng nhị phân. Output: Một thứ nhỏ nhất - cắt. $N$ $k$
$k$ $s$ $t$

Một thứ nhỏ nhất - cắt là bất kỳ - cắt, như vậy có đúng - cắt giảm mà năng lực $k$ $s$ $t$ $(S,T)$ $s$ $t$ $k-1$ $s$ $t$

là cặp đôi khác nhau và
thực sự nhỏ hơn công suất của . $(S,T)$

Tôi muốn biết làm thế nào nó có thể được tính toán và liệu điều này có thể được thực hiện một cách hiệu quả như trong trường hợp . $k=1$

— Oliver Witt
nguồn

Bạn có thể tìm thấy vết cắt nhỏ thứ hai bằng cách thêm

trọng lượng cho tất cả các cạnh trong vết cắt nhỏ nhất và sau đó tính toán vết cắt nhỏ nhất mới. Điều này có thể hoạt động miễn là

được mã hóa trong unary (và chắc chắn cho

hằng).

ϵ

$\epsilon$

k

$k$

k

$k$

— Yuval Filmus

Tôi không thấy nó giúp như thế nào. Hãy tưởng tượng một mạng đường dẫn gồm ba nút

chỉ với hai cạnh

và

. Hơn nữa, hãy để các công suất là

và

. Rõ ràng, các vết cắt cắt nhỏ

và vết cắt nhỏ thứ hai

s

$s$

v

$v$

t

$t$

(s, v)

$(s,v)$

(v, t)

$(v,t)$

c (s, v) = 1

$c(s,v)=1$

c (v, t) = 2

$c(v,t)=2$

(s, v)

$(s,v)$

. Tăng năng lực như bạn mô tả một lần nữa sẽ mang lại

như min-cut với công suất

. Làm thế nào để tôi suy ra vết cắt nhỏ thứ hai từ đó?

(v, t)

$(v,t)$

(s, v)

$(s,v)$

1 + ϵ

$1+\epsilon$

— Oliver Witt

Thêm một giới hạn thấp hơn trên nắp cắt là một bất đẳng thức tuyến tính, chỉ cần thêm một epsilon lớn hơn giới hạn tối thiểu và chạy LP. Bạn có thể lặp lại nó k lần để có được những gì bạn muốn. Điều này có thể có thể được sửa lại như là một sửa đổi trên mạng nhưng tôi đã không làm việc đó.

— Kaveh

Tôi thấy nó hoạt động như thế nào nếu

ở dạng mã hóa đơn nguyên. Điều gì, nếu nó là nhị phân? Trong trường hợp này, việc sửa đổi mạng không thể được thực hiện trong các lần lặp

k

$k$

k

$k$

— Oliver Witt

Tôi nghi ngờ có một giải pháp dễ dàng nếu k là nhị phân. Chúng tôi có thể kiểm tra nếu có một vết cắt của nắp c như tôi mô tả. Dường như với tôi về cơ bản là đếm số lượng c có thể, có thể được cung cấp liên quan đến việc đếm số lượng khớp và có thể là # P-đầy đủ. (Đây chỉ là trực giác của tôi, không phải là một cuộc tranh cãi.)

— Kaveh

Cắt nhỏ thứ hai, và nói chung là các cắt nhỏ nhất, có thể được tìm thấy trong đa thức thời gian tính theo và kích thước mạng. Xem: $k$ $k$

CTNH Hamger. Một thuật toán để tìm cắt tốt nhất trong mạng. Điều hành. Độ phân giải Lett. 1 (5): 186 Gian189, 1982, doi: 10.1016 / 0167-6377 (82) 90037-2 . $(K\cdot n^4)$ $k$

CTNH Hamger, J.-C. Picard và M. Queyranne. Về việc tìm kiếm cắt giảm tốt nhất trong một mạng. Điều hành. Độ phân giải Lett. 2 (6): 303 Dòng305, 1984, doi: 10.1016 / 0167-6377 (84) 90083-X . $K$

CTNH Hamger và M. Queyranne. giải pháp tốt nhất cho các vấn đề tối ưu hóa tổ hợp. Ann. Điều hành. Độ phân giải 4 (1 bóng4): 123 Hàng143, 1985, doi: 10.1007 / BF02022039 . $K$

— David Eppstein
nguồn

Không cho phép các trọng số bằng nhau trong số các

hàng đầu ? Câu hỏi dường như được hỏi về trọng lượng nhỏ nhất thứ

, như Kaveh gợi ý có mùi giống như vấn đề # P-Complete.

k

$k$

k

$k$

— András Salamon

Tôi cũng hiểu theo cách đó: trọng lượng bằng nhau được cho phép. Điều này dường như không trả lời câu hỏi. Tuy nhiên, tôi đã không biết về những giấy tờ này, cảm ơn vì điều đó.

— Oliver Witt

Câu hỏi được nói sai, bởi vì nó yêu cầu một điều ( vết cắt nhỏ thứ

) và sau đó thêm một hạn chế để biến câu hỏi thành một thứ khác ( trọng lượng cắt nhỏ nhất thứ

). Tôi đồng ý rằng phiên bản trọng lượng riêng biệt của vấn đề có thể là $ P-Complete.

k

$k$

k

$k$

— David Eppstein