Đường dẫn đơn giản trên dag với các cạnh lùi

Độ phức tạp của vấn đề sau ( P? NP-hard là gì?): $\in$

Input: một đạo diễn acyclic graph , một tập hợp của các cạnh ngược , và hai nút riêng biệt và . $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

Câu hỏi: Hãy biểu thị đồ thị được hình thành bằng cách thêm vào các cạnh từ . Có một đường dẫn đơn giản từ đến trong sử dụng ít nhất một cạnh lùi không? $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

Lưu ý: 0) Đường dẫn đơn giản là đường dẫn không có đỉnh được lặp lại, Cạnh lùi là cạnh mâu thuẫn với thứ tự từng phần được ngụ ý bởi DAG. 1) vấn đề trở nên dễ dàng nếu chúng ta yêu cầu đường dẫn đơn giản sử dụng chính xác một cạnh lùi (hoặc số không đổi) bằng cách giảm tầm thường đối với vấn đề đường dẫn rời rạc, thừa nhận một giải pháp PTime đơn giản trong DAG ( Perl và Shiloach, JACM'78 ) 2) vấn đề đường dẫn rời rạc là NP-đầy đủ trong các biểu đồ chung ( Fortune et al., TCS'80 ).

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— Joseph Stack
nguồn

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

Điều rất khó chịu về vấn đề của bạn là vấn đề liên quan sau đây có thể dễ dàng thấy là NP-hard: đưa ra một biểu đồ và hai cặp đỉnh (s, t), (s ', t'), để xác định xem có phân tách đỉnh không các đường dẫn từ s đến t và từ s 'đến t', ngay cả khi t = s 'và thậm chí trên các biểu đồ là sự kết hợp của hai DAG. Tuy nhiên, điều này dường như không giúp ích cho câu hỏi mà bạn hỏi.

— a3nm

Vấn đề đường dẫn rời rạc là W [1] - ngay cả trên các DAG và đó là bài tập về nhà để cho thấy rằng đó là NP-Hard trong DAGs. Thuật toán Shiloach dành cho hai vấn đề đường dẫn rời rạc, và theo cách tương tự như vậy hoạt động đối với vấn đề đường dẫn k rời rạc trong DAG nhưng phải mất thời gian n ^ k. Nhưng ít nhất thừa nhận một thuật toán XP cho vấn đề của bạn.

— Saeed