Có một phép tính lambda đánh máy nào là phù hợp và hoàn thành Turing không?

Có một phép tính lambda được gõ trong đó logic tương ứng theo tương ứng Curry-Howard là nhất quán và ở đó có các biểu thức lambda có thể đánh máy cho mọi hàm tính toán?

Đây được thừa nhận là một câu hỏi không chính xác, thiếu một định nghĩa chính xác về "tính toán lambda gõ". Về cơ bản, tôi tự hỏi liệu có (a) ví dụ đã biết về điều này, hoặc (b) bằng chứng không thể biết được cho một cái gì đó trong lĩnh vực này.

Chỉnh sửa: @cody đưa ra một phiên bản chính xác của câu hỏi này trong câu trả lời của anh ấy bên dưới: có hệ thống loại thuần túy logic (LPTS) phù hợp và hoàn chỉnh Turing (theo nghĩa được xác định bên dưới) không?

Được rồi tôi sẽ giải thích về nó: Nói chung đối với một hệ thống loại , điều sau đây là đúng:$T$

Nếu tất cả các điều khoản tốt gõ vào tính toán là bình thường, sau đó T là phù hợp khi xem như là một logic.$T$$T$

Bằng chứng thường tiến hành bằng cách giả sử bạn có một thuật ngữ loại F a l s e , sử dụng giảm chủ đề để có được một hình thức bình thường, và sau đó tiến hành bằng cách cảm ứng trên cấu trúc của một thuật ngữ đó để có được mâu thuẫn.$\mathrm{absurd}$$\mathrm{False}$

Đó là tự nhiên để tự hỏi nếu converse giữ, tức là

Đối với bất kỳ loại hệ thống , nếu T là hợp lý phù hợp , sau đó mỗi hạn nổi gõ vào T là bình thường.$T$$T$$T$

Vấn đề với điều này là không có khái niệm chung nhất về "hệ thống loại", và thậm chí ít đồng ý hơn về ý nghĩa của tính nhất quán logic đối với các hệ thống như vậy. Tuy nhiên, chúng tôi có thể xác minh bằng thực nghiệm rằng

Đối với hầu hết các hệ thống loại đã biết có một giải thích hợp lý, điều ngược lại thực sự giữ.

Làm thế nào điều này gắn vào Turing Hoàn thiện? Chà, đối với một người, nếu việc kiểm tra kiểu là có thể quyết định , thì đối số của Andrej cho thấy rằng một trong những điều sau đây phải được giữ:

1. Tập hợp tất cả các chương trình được gõ tốt không phải là Turing Complete.
2. Có một chương trình đánh máy tốt không kết thúc.

Điều này có xu hướng gợi ý rằng:

Loại hệ thống có một giải thích hợp lý và nhất quán và có thể liệt kê đệ quy không phải là Turing Complete.

Đưa ra một định lý thực tế chứ không phải là một gợi ý đòi hỏi phải đưa ra khái niệm về hệ thống kiểu và diễn giải logic một cách chính xác về mặt toán học.

Bây giờ hai nhận xét đến trong tâm trí:

1. Có một undecidable hệ thống kiểu, các hệ thống kiểu ngã tư trong đó có một giải thích hợp lý và có thể đại diện cho tất cả các bình thường hóa -term. Như bạn nhận xét, điều này không hoàn toàn giống như Turing Complete, vì loại hàm tổng có thể cần phải được cập nhật (thực tế, trong thực tế) trước khi áp dụng nó vào đối số mong muốn. Các tính toán là một "cà ri kiểu" tính toán và bằng STLC + gamma ⊢ M : $\lambda$ và gamma⊢M:τ∩

   $$\frac{\Gamma\vdash M:\tau\quad \Gamma\vdash M:\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}$$ Rõ ràng là các "diễn giải"∩=∧dẫn đến một sự giải thích hợp lý nhất quán. $$\frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\tau}\quad \frac{\Gamma\vdash M:\tau\cap\sigma}{\Gamma\vdash M:\sigma}$$ $\cap=\wedge$

2. Có một loại hệ thống loại, Hệ thống loại tinh khiết , trong đó một câu hỏi như vậy có thể được đưa ra chính xác. Tuy nhiên, trong khung này, việc giải thích logic chưa rõ ràng. Người ta có thể bị cám dỗ để nói: "PTS là phù hợp nếu nó có loại không có người ở". Nhưng điều này không hoạt động, vì các loại có thể sống trong các "vũ trụ" khác nhau, trong đó một số có thể nhất quán và một số thì không. Coquand và Herbelin định nghĩa một khái niệm về Hệ thống loại thuần túy hợp lý , trong đó câu hỏi có ý nghĩa và hiển thị

   Mọi LPTS không nhất quán, không phụ thuộc đều có bộ kết hợp lặp (và Turing Complete cũng vậy)

   Mà trả lời câu hỏi theo một hướng (không nhất quán TC) trong trường hợp này. Theo tôi biết, câu hỏi cho LPTS nói chung vẫn còn mở và khá khó.$\Rightarrow$

Chỉnh sửa: Nghịch đảo kết quả Coquand-Herbelin không dễ như tôi nghĩ! Đây là những gì tôi đã đưa ra cho đến nay.

Một logic tinh khiết Loại Hệ thống là một PTS với (ít nhất) các loại và T y p đ , (ít nhất) tiên đề P r o p : T y p e và (ít nhất là) sự cai trị ( P r o p , P r o p , P r o p ) , với yêu cầu thêm rằng không có loại P r o p .$\mathrm{Prop}$$\mathrm{Type}$$\mathrm{Prop}:\mathrm{Type}$$(\mathrm{Prop},\mathrm{Prop},\mathrm{Prop})$$\mathrm{Prop}$

Bây giờ tôi sẽ đảm nhận một tuyên bố đặc biệt của Turing Đầy đủ: sửa chữa một LPTS và để Γ là bối cảnh$L$$\Gamma$

làTuring Hoàniff cho mỗi tổng chức năng tính toán f : N → N có là một thuật ngữ t f như vậy gamma ⊢ t f : n một t → n một t và cho mọi n ∈ N t f ( S n 0 ) → * β S f ( n )$L$$f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$$t_f$

Bây giờ đối số đường chéo của Andrej cho thấy rằng có loại kết thúc loại n a t .$t$$\mathrm{nat}$

Bây giờ có vẻ như chúng ta đang ở nửa đường! Với một tổ chức phi chấm dứt hạn , chúng tôi muốn thay thế xuất hiện của n một t bởi một số loại generic Một và thoát khỏi 0 và S trong Γ , và chúng tôi sẽ có sự mâu thuẫn của chúng tôi ( Một là nơi sinh sống trong bối cảnh A : P r o p )!$\Gamma \vdash \mathrm{loop}:\mathrm{nat}$$\mathrm{nat}$$A$$0$$S$$\Gamma$$A$$A:\mathrm{Prop}$

Thật không may, đây là nơi tôi gặp khó khăn, vì nó dễ dàng thay thế bằng danh tính, nhưng 0 khó hơn nhiều để thoát khỏi. Lý tưởng nhất là chúng tôi muốn sử dụng một số định lý đệ quy Kleene, nhưng tôi chưa tìm ra điều này.$S$$0$

Đây là câu trả lời cho một biến thể của câu hỏi của tôi về câu hỏi của tôi. Có một LPTS phù hợp mà Turing hoàn thành trong khoảng @ cảm giác cody, nếu chúng ta cho phép sự ra đời của các tiên đề bổ sung và -reduction quy tắc. Do đó, nói đúng ra hệ thống không phải là LPTS; nó chỉ đơn thuần là một cái gì đó giống như một.$\beta$

Xem xét tính toán của các công trình (hoặc thành viên yêu thích của bạn trong -cube). Đây là LPTS, nhưng chúng tôi sẽ thêm các công cụ bổ sung khiến nó không phải là LPTS. Chọn các ký hiệu không đổi nat , 0 , S và thêm các tiên đề:$\lambda$$\text{nat}, 0, S$

⊢ 0 : nat ⊢ S : nat →

Index chương trình máy Turing bởi số tự nhiên, và đối với mỗi số tự nhiên , chọn một biểu tượng liên tục f e , thêm tiên đề f e : nat → nat , và cho tất cả e , x ∈ N , thêm β quy tắc -reduction$e$$f_e$$f_e : \text{nat} \to \text{nat}$$e,x \in \mathbb{N}$$\beta$

trong đó như thường lệ là đầu ra của chương trình máy Turing thứ e trên x . Nếu Φ e ( x ) phân kỳ thì quy tắc này không làm gì cả. Lưu ý rằng khi thêm các tiên đề và quy tắc định lý của hệ thống vẫn còn một cách đệ quy đếm được, mặc dù bộ của β quy tắc -reduction không còn decidable, nhưng chỉ đơn thuần là một cách đệ quy đếm được. Tôi tin rằng chúng ta có thể dễ dàng kiểm soát các thiết lập của β -reduction quy tắc decidable bởi đánh vần ra một cách rõ ràng các chi tiết của một mô hình tính toán trong cú pháp và các quy tắc của hệ thống.$\Phi_e(x)$$e$$x$$\Phi_e(x)$$\beta$$\beta$

Bây giờ, lý thuyết này rõ ràng là Turing hoàn chỉnh theo nghĩa đại khái của @ cody, chỉ bằng vũ lực; nhưng tuyên bố là nó cũng phù hợp. Hãy xây dựng một mô hình của nó.

Đặt là ba bộ, sao cho:$U_1 \in U_2 \in U_3$

• (nơi S là hàm kế).$\emptyset, \mathbb{N}, 0, S \in U_1$$S$
• Mỗi bộ là bắc cầu; nếu , sau đó một ∈ U i .$a \in b \in U_i$$a \in U_i$
• $A, B \in U_i$$B^A \in U_i$
• $A \in U_i$$f : A \to U_i$$\prod_{a \in A} f(a) \in U_i$

$U_i$

$v$$U_2$$v$$I_v$

• $I_v(x) = v(x)$$x$
• $I_v(\ast) = U_1, I_v(\Box) = U_2$
• $I_v(\text{nat}) = \mathbb{N}, I_v(0) = 0, I_v(S) = S$
• $I_v(f_e) = \Phi_e$$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$$e$
• $I_v(AB) = I_v(A)(I_v(B))$$I_v(A)$$I_v(B)$$I_v(AB) = 0$
• $I_v(\lambda x : A. B)$$a \in I_v(A)$$I_{v[x:=a]}(B)$
• $I_v(\Pi x : A. B) = \prod_{a \in I_v(A)} I_{v[x:=a]}(B)$

$A$$I_v(A) \in U_3$$v$$A : B$$v \models A : B$$I_v(A) \in I_v(B)$$\Gamma \models A : B$$v$$v \models x : C$$(x : C) \in \Gamma$$v \models A : B$

$\Gamma \vdash A : B$$\Gamma \models A : B$$x,y$$y : \ast \models x : y$$y$$\emptyset$

$\beta$