Chúng ta không thể tạo ra độ phức tạp Kolmogorov?

Chúng ta hãy sửa mã hóa máy Turing không có tiền tố và máy Turing phổ dụng $U$ trên đầu vào $(T,x)$ (được mã hóa dưới dạng mã không có tiền tố của $T$ theo sau $x$ ) xuất ra bất cứ thứ gì $T$ xuất ra trên đầu vào $x$ (có thể cả chạy mãi). Xác định độ phức tạp Kolmogorov của $x$ , $K(x)$ , vì độ dài của chương trình ngắn nhất $p$sao cho $U(p)=x$ .

$T$$x$$T(x)\le |x|$$x$$T(x)\ne K(x)$$\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$

Các điều kiện là cần thiết, bởi vì

(a) nếu, sau đó có thể dễ dàng xuất ra một số khác biệt nhỏ so với K (x) vì nó lớn hơn | x | + c_U ,$T(x)\not \le |x|$$K(x)$$|x|+c_U$

(b) nếu $\liminf_{|x|\rightarrow \infty} T(x)<C$ được cho phép, thì chúng ta chỉ có thể xuất $0$ (hoặc một số hằng số khác) cho hầu hết tất cả các số, bằng cách "may mắn" đoán được nhiều nhất một (rất nhiều số) ước tính thành $0$ (với một số hằng số khác) và xuất ra một số thứ khác. Chúng tôi thậm chí có thể đảm bảo $\limsup_{|x|\rightarrow \infty} T(x)=\infty$ bằng cách xuất ra một cái gì đó như $2\log n$ cho $x=2^n$ .

Cũng lưu ý rằng công việc của chúng tôi sẽ dễ dàng nếu chúng tôi biết rằng $T(x)$ không phải là tính từ, nhưng ít được biết về điều này, vì vậy câu trả lời có thể phụ thuộc vào $U$ , mặc dù tôi nghi ngờ điều đó sẽ xảy ra.

Tôi biết rằng quan hệ được nghiên cứu rất nhiều nói chung, nhưng

Có ai từng hỏi một câu hỏi tương tự trong đó mục tiêu của chúng tôi là đưa ra một thuật toán không xuất ra một số tham số?

Động lực của tôi là vấn đề này http://arxiv.org/abs/1302.1109 .

Câu hỏi có thể được đặt lại là có hay không , và khi Denis chỉ ra trong các nhận xét Điều này là sai đối với một số mã hóa. Đây là một tuyên bố yếu hơn và một bằng chứng cố gắng về nó không phụ thuộc vào bất kỳ chi tiết nào của mã hóa, nhưng tôi sẽ giả sử một ngôn ngữ nhị phân cho đơn giản:$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} = 0$

Đặt là một hàm tính toán thỏa mãn và . Sau đó . Một cách không chính thức, nếu có một mục tiêu xung quanh độ phức tạp Kolmogorov của mỗi chuỗi phát triển rộng không giới hạn, không có chức năng tính toán nào có thể tránh được việc đánh vào nó.$T:\{0,1\}^* \rightarrow \mathbb{N}$$0 \le T(x) \le \vert x \vert$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{T(x)} = \infty$$\lim \inf_{\vert x \vert \rightarrow \infty}{\vert T(x) - K(x) \vert} \lt \infty$

Để thấy điều này, hãy để là số -bit ngẫu nhiên , tức là và . Đối với tất cả như vậy ngẫu nhiên tồn tại. Cũng lưu ý rằng có một số lượng vô hạn các giá trị của mà , điều này sau từ các điều kiện đặt trên . Bây giờ hãy để là chuỗi nhỏ nhất sao cho . Rõ ràng có một hằng số sao cho , vì và$n$$b$$0 \le n \lt 2^b$$K(n) \ge b$$b$$n$$b$$\vert \{T(x) = b\} \vert \ge 2^b$$T$$x$$n^{\text{th}}$$T(x) = b$$c_1$$K(x) \gt b - c_1$$K(n) \ge b$$n$có thể được tính từ . Và có một hằng số sao cho , bởi vì cũng bị giới hạn bởi chỉ một hằng số nhiều hơn và có thể được tính từ . Sau đó và chúng tôi có vô số lựa chọn cho (những người có tiền đề về số lượng thẻ ít nhất là ), mang lại số lượng giá trị vô hạn cho , vậy là xong.$x$$c_2$$K(x) \lt b + c_2$$K(n)$$b$$x$$n$$\vert K(x) - T(x) \vert \lt c_1 + c_2$$b$$2^b$$x$

Một hàm ý là đối với một số , vô cùng thường xuyên. Vì vậy, người ta có thể nói rằng chúng ta không thể tạo ra thứ gì đó không phải là sự phức tạp của Kolmogorov!$c \in \mathbb{Z}$$T(x) = K(x) + c$

Tôi nghĩ rằng các công trình sau đây. Tôi sẽ sử dụng cho độ phức tạp Kolmogorov$C(x)$

• Cho một thời gian giới hạn (giả sử, một số hàm số mũ của độ dài của chương trình đầu vào) và gọi kết quả là . Nếu một chương trình vượt quá thời gian, sẽ vào một vòng lặp vô hạn.$U$$t$$U^t$$U^t$
• Đặt là chương trình ngắn nhất cho trên . Lưu ý rằng là tính toán.$C^t(x)$$x$$t$$C^t$
• Đặt trả về , trừ khi giá trị này bằngtrong trường hợp này trả về 0. Trừ khi là đầu ra của chương trình trống, trong trường hợp đó trả về 1.$T(x)$$C^t(x) + 1$$|x|$$x$
• Vì , sẽ luôn khác với . Logic trong bước trước sẽ xử lý các trường hợp cạnh.$C(x) \leq C^t(x)$$T(x)$$C(x)$
• $U^t$ chức năng như một mã cho tất cả các chuỗi, vì vậy nó có giới hạn vô cực.