Khi nào ngẫu nhiên ngừng trợ giúp trong PSPACE

Được biết, việc thêm ngẫu nhiên lỗi giới hạn vào PSPACE không thêm sức mạnh. Đó là, BPPSAPCE = PSPACE.

Người ta không biết có phải P = BPP hay không, nhưng người ta biết rằng . $BPP\subseteq \Sigma_2\cap \Pi_2$

Vì vậy, có thể (trong khi được phỏng đoán là sai) khi thêm xác suất vào P sẽ thêm sức mạnh biểu cảm.

Câu hỏi của tôi là liệu chúng ta có biết (hoặc có bằng chứng về) ranh giới giữa P và PSPACE khi việc thêm ngẫu nhiên không còn tăng thêm sức mạnh hay không.

Đặc biệt,

Có bất kỳ vấn đề nào được biết là trong (resp. ) không được biết là trong (resp. ) không? Và tương tự cho vs ? $BP\Sigma_i$ $BP\Pi_i$ $\Sigma_i$ $\Pi_i$ $BPPH$ $PH$

randomness derandomization polynomial-hierarchy

— Thiếu
nguồn

BPPH = PH. xxxxxxxxxxxxx

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@ EmilJeřábek - cảm ơn, bạn có tài liệu tham khảo cho kết quả này không?

— Shaull

Đây chỉ là một sự tương đối hóa của định lý Gács Sipser cộng Lautemann.

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Mặc dù đối với ràng buộc chặt chẽ hơn, tốt hơn là nên tương đối hóa việc bao gồm , điều này mang lại cho (cho ) và dually .

A M \subseteq Π_{2}^{P}

$\mathrm{AM}\subseteq\Pi^P_2$

B P Σ_{i}^{P} \subseteq Π_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Sigma^P_i\subseteq\Pi^P_{i+1}$

i \geq 1

$i\ge1$

B P Π_{i}^{P} \subseteq Σ_{i + 1}^{P}

$\mathrm{BP}\Pi^P_i\subseteq\Sigma^P_{i+1}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

Có một khó khăn với tiền đề của câu hỏi của bạn - "khi nào ngẫu nhiên dừng lại giúp đỡ trong - bởi vì nó cho thấy rằng các lớp học tính toán như vậy hình thức một số loại phân cấp tuyến tính khi điều này không rõ ràng. $\mathrm{PSPACE}$ $\mathrm{X}$ $\mathrm{P \subseteq X \subseteq PSPACE}$

Chúng ta có thể minh họa điều này bằng cách so sánh giữa hệ thống phân cấp đa thức và các lớp đếm. Như Emil Jeřábek chỉ ra trong các nhận xét, bằng cách tương đối hóa ; và do đó . Mặt khác, Định lý của Toda cho thấy Nếu bạn cho rằng "ngẫu nhiên đã ngừng thêm sức mạnh vào thời điểm bạn lên ", thì bạn sẽ bị nghi ngờ rằng vì

\begin{aligned} B P \cdot Σ_{Tôi}^{p} \subseteq Π_{Tôi + 1}^{p} & và & B P \cdot Π_{Tôi}^{p} \subseteq Σ_{Tôi + 1}^{p} \end{aligned}

$\begin{align*} \mathrm{BP\cdot \Sigma_i^p \subseteq \Pi_{i+1}^p} &&\text{and}&& \mathrm{BP\cdot \Pi_i^p \subseteq \Sigma_{i+1}^p} \end{align*}$

A M \subseteq Π_{2}^{p}

$\mathrm{AM \subseteq \Pi_2^p}\,$

B P \cdot P H = P H

$\mathrm{BP \cdot PH = PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P .

$\mathrm{PH \subseteq BP\cdot\oplus P}.$

P H

$\mathrm{PH}$

P H \subseteq B P \cdot \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq BP \cdot \oplus P}$ , có lẽ trên thực tế . Nhưng tôi không biết rằng bất cứ ai cũng phỏng đoán điều này, hoặc thậm chí là (sẽ là một hậu quả cần thiết); Tôi nghĩ rằng bất kỳ kết quả của loại này sẽ được coi là một bước đột phá lớn.

B P \cdot \oplus P = \oplus P

$\mathrm{BP \cdot \oplus P = \oplus P}$

P H \subseteq \oplus P

$\mathrm{PH \subseteq \oplus P}$

Tất nhiên, nếu bạn chỉ quan tâm đến hệ thống phân cấp đa thức và nói chung hơn (để mở rộng các công thức boolean được định lượng theo ), thì bạn có thể trích xuất một số câu trả lời tuyến tính cho câu hỏi của mình - trong trường hợp đó là ý kiến của Emil như hoàn thành một câu trả lời như bạn có khả năng nhận được. $\mathrm{PSPACE}$

— Niel de Beaudrap
nguồn

Cảm ơn! Tôi thực sự đã suy nghĩ nhiều về hệ thống phân cấp đa thức hơn các lớp khác. Trong thực tế, câu hỏi này xuất phát từ việc nghiên cứu các hạn chế của logic thời gian, do đó, có một số loại phân cấp trong số chúng, và các lớp đếm ít liên quan hơn.

— Shaull

Sau đó, bạn có thể muốn tìm một phiên bản nhọn hơn cho câu hỏi của mình và thử lại. :-)

— Niel de Beaudrap

Liên quan đến điểm "ngẫu nhiên đã ngừng thêm sức mạnh": chúng tôi cũng có , nhưng điều này không ngụ ý cho tất cả các lớp .

B P \cdot B P P = B P P

$\mathrm{BP\cdot BPP=BPP}$

B P \cdot C = C

$\mathrm{BP}\cdot\mathcal C=\mathcal C$

C \supseteq B P P

$\mathcal C\supseteq\mathrm{BPP}$

— Emil Jeřábek hỗ trợ Monica

@Emil: chắc chắn rồi, mặc dù một khiếu nại công bằng có thể là đã có sự ngẫu nhiên ở đó. Điều này đặt ra câu hỏi liệu (đối với bất kỳ lớp nào, tuy nhiên được chỉ định), người ta có thể biết liệu nó đã "chứa ngẫu nhiên" hay chưa, nhưng đó là một ấm cá phức tạp hơn nhiều.

— Niel de Beaudrap