Ứng dụng cho lý thuyết tập hợp, lý thuyết thứ tự, tổ hợp vô hạn và cấu trúc liên kết chung trong khoa học máy tính?

15

Tôi là một nhà toán học quan tâm đến lý thuyết tập hợp, lý thuyết thứ tự, tổ hợp vô hạn và cấu trúc liên kết chung.

Có ứng dụng nào cho các môn học này trong khoa học máy tính không? Tôi đã xem xét một chút, và tìm thấy rất nhiều ứng dụng (tất nhiên) cho lý thuyết đồ thị hữu hạn, cấu trúc liên kết hữu hạn, cấu trúc liên kết chiều thấp, cấu trúc liên kết hình học, v.v.

Tuy nhiên, tôi đang tìm kiếm các ứng dụng của các đối tượng vô hạn của các đối tượng này, ví dụ như cây vô hạn ( ví dụ cây Aronszajn ), cấu trúc liên kết vô hạn, v.v.

Có ý kiến gì không?

Cảm ơn bạn!!

set-theory topology topological-graph-theory

— người dùng135172
nguồn

1

xem thêm Ứng dụng của các môn lý thuyết tập hợp như các lệnh, cưỡng bức, các bộ lọc chung trong công nghệ phần mềm cs.se

— vzn

2

Ngoài câu trả lời tuyệt vời của Neel, bạn cũng có thể quan tâm đến các chức năng tính toán, đóng vai trò thú vị trong lý thuyết tính toán: en.wikipedia.org/wiki/Recursive_ordinal

— Joshua Grochow

21

Một ứng dụng chính của cấu trúc liên kết trong ngữ nghĩa là cách tiếp cận cấu trúc liên kết với tính toán.

Ý tưởng cơ bản của cấu trúc liên kết tính toán xuất phát từ việc quan sát thấy rằng chấm dứt và không biến đổi không đối xứng. Có thể quan sát xem chương trình hộp đen có chấm dứt hay không (chỉ cần đợi đủ lâu), nhưng không thể quan sát liệu chương trình đó có chấm dứt hay không (vì bạn không bao giờ có thể chắc chắn rằng mình đã không đợi đủ lâu để thấy nó chấm dứt). Này tương ứng với việc trang bị các thiết lập hai điểm {HALT, LOOP} với topo Sierpinski, nơi $\emptyset, \{HALT\}, and \{HALT, LOOP\}$ là những bộ mở. Vì vậy, về cơ bản chúng ta có thể có được khá nhiều tương đương "thiết lập mở" với "tài sản tính toán". Một điều ngạc nhiên của cách tiếp cận này đối với các nhà tô pô truyền thống là vai trò trung tâm mà các không gian phi-Hausdorff đóng. Điều này là do về cơ bản bạn có thể thực hiện các nhận dạng sau

\begin{matrix} C o m p u t a b i l i t y & T o p o l o g y \\ Type & Space \\ Computable function & Continuous function \\ Decidable set & Clopen set \\ Semi-decidable set & Open set \\ Set with semidecidable complement & Closed set \\ Set with decidable equality & Discrete space \\ Set with semidecidable equality & Hausdorff space \\ Exhaustively searchable set & Compact space \end{matrix}

$\begin{matrix} \mathbf{Computability} & \mathbf{Topology}\\ \mbox{Type} & \mbox{Space} \\ \mbox{Computable function} & \mbox{Continuous function} \\ \mbox{Decidable set} & \mbox{Clopen set} \\ \mbox{Semi-decidable set} & \mbox{Open set} \\ \mbox{Set with semidecidable complement} & \mbox{Closed set} \\ \mbox{Set with decidable equality} & \mbox{Discrete space} \\ \mbox{Set with semidecidable equality} & \mbox{Hausdorff space} \\ \mbox{Exhaustively searchable set} & \mbox{Compact space} \\ \end{matrix}$

Hai khảo sát tốt về những ý tưởng này là Cấu trúc liên kết của MB Smyth trong Sổ tay logic trong Khoa học máy tính và cấu trúc liên kết tổng hợp các loại dữ liệu và không gian cổ điển của Martin Escardo .

Các phương pháp tô pô cũng đóng một vai trò quan trọng trong ngữ nghĩa của sự tương tranh, nhưng tôi biết ít hơn về điều đó.

— Neel Krishnaswami
nguồn

Cảm ơn bạn đã trả lời khai sáng của bạn! Tôi sẽ có một cái nhìn.

— user135172

Có thể tìm kiếm một cấu trúc liên kết tốt hơn cho phân cấp đa thức một mình?

— T ....

1

Một ứng dụng hấp dẫn của những ý tưởng này có thể được tìm thấy trong loạt bài viết "Dường như các chương trình chức năng không thể thực hiện được" - math.andrej.com/2007/09/11/iêu , math.andrej.com/2014/05/08/seemingly-impossible -proofs

— jkff

1

Bạn có thể cho chúng tôi thêm một chút ở đây? Tôi thấy câu trả lời này rất khó để hiểu. Ví dụ, giả sử cho một mâu thuẫn rằng các tập hợp con có thể bán được của

tạo thành một cấu trúc liên kết, như bạn có vẻ đang tuyên bố. Sau đó, nó sau đó kể từ với mọi số tự nhiên

, tập singleton

là bán decidable, do đó công đoàn độc đoán của các tập con singleton của

là bán decidable. Ergo mọi tập con của

là bán quyết định, một mâu thuẫn.

N

$\mathbb{N}$

k \in N

$k \in \mathbb{N}$

{k} \subseteq N

$\{k\} \subseteq \mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

N

$\mathbb{N}$

— yêu tinh

4

Giải thưởng Godel năm 2004 đã được chia sẻ giữa các bài báo:

Cấu trúc tôpô của tính toán không đồng bộ .
Tác giả Maurice Herlihy và Nir Shavit, Tạp chí ACM, Tập. 46 (1999), 858-923
Thỏa thuận k-Set chờ miễn phí là không thể: Cấu trúc liên kết của kiến thức công cộng .
Tác giả Michael Saks và Fotios Zaharoglou, SIAM J. về Điện toán, Tập. 29 (2000), 1449-1483.

Trích dẫn từ Giải thưởng Godel 2004:

Hai bài báo đưa ra một trong những bước đột phá quan trọng nhất trong lý thuyết về điện toán phân tán.

Việc phát hiện ra bản chất tô pô của điện toán phân tán cung cấp một viễn cảnh mới về khu vực và đại diện cho một trong những ví dụ nổi bật nhất, có thể trong tất cả các toán học ứng dụng, về việc sử dụng các cấu trúc tôpô để định lượng các hiện tượng tính toán tự nhiên.

Bài liên quan: Ứng dụng cấu trúc liên kết vào khoa học máy tính

— hengxin
nguồn

3

Mặc dù đây chắc chắn là những ứng dụng tuyệt vời của cấu trúc liên kết trong TCS, nhưng chúng thực sự là những ứng dụng của "cấu trúc liên kết / đại số" chứ không phải là những gì tôi nghĩ OP có nghĩa là "cấu trúc liên kết chung" (nghĩa là theo lý thuyết điểm / lý thuyết tập hợp / logic đấu trường).

— Joshua Grochow

4

Hành vi của một hệ thống phản ứng thường được mô hình hóa bằng cách sử dụng các cấu trúc vô hạn (cây tính toán vô hạn và vô hạn) và các đặc tính Tạm thời của chúng (tính chất an toàn và sinh động) cũng được đặc trưng bằng cấu trúc liên kết.

Xác định Lively Alpern và Schneider

An toàn và sống động trong thời gian phân nhánh Manolios et. al.

— Mitesh J
nguồn