ETH: k-SAT so với SAT?

Đặt SAT là ngôn ngữ của các trường hợp SAT có chứa các biến , hãy để -SAT là ngôn ngữ của các trường hợp SAT trong đó mọi mệnh đề đều có nhiều nhất là chữ và để -SAT là giao điểm của chúng. Đặt , trong đó phạm vi tối thiểu trên tất cả các thuật toán (máy trong một số mô hình điện toán). Đặt s_ \ infty = \ lim_ {k \ đến \ infty} s_k$_v$$[v] = \{0,1,\dots,v-1\}$$k$$k$$k$$_v$s ∞ = lim k → ∞ s $s_k = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } k\text{-SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\infty = \lim_{k \to \infty} s_k$. Để điều này có ý nghĩa, người ta phải giả định rằng có một ràng buộc hợp lý về kích thước của đầu vào về số lượng biến; nếu không, người ta có thể lặp lại các mệnh đề để buộc $s_k$ và $s_\infty$ phải lớn như mong muốn. Vì vậy, giả sử mệnh đề không được lặp lại.

Lưu ý rằng mỗi công thức $k$ -CNF sau đó có kích thước tối đa là $O(v^k)$ , vì vậy kích thước của công thức đầu vào không quan trọng khi xem xét một số mũ là tuyến tính trong $v$ . Sau đó, nó theo sau $s_3 \le s_4 \le \dots \le s_\infty$ .

Giả thuyết thời gian theo hàm mũ (ETH) là câu lệnh $s_k > 0$ đối với một số $k\ge 3$ . Chuỗi $(s_k)$ tăng vô hạn thường xuyên nếu ETH giữ. ETH mạnh (SETH) là câu lệnh $s_\infty \ge 1$ hoặc $s_\infty = 1$ , tùy thuộc vào tham chiếu nào mà người ta sử dụng.

Ngược lại, mỗi trường hợp SAT $_v$ chứa tối đa $3^v$ mệnh đề riêng biệt (mỗi biến có thể là dương, âm hoặc không có trong mỗi mệnh đề). Do đó, một đầu vào có thể có độ dài $\Omega(2^{n\log 3})$ ngay cả khi không có mệnh đề nào được lặp lại, do đó, đây là giới hạn thấp hơn cho thời gian để đọc đầu vào, và sau đó cho toàn bộ thời gian.

Nếu sau đó chúng ta hãy để , rõ ràng chỉ bằng cách xem xét các kích thước đầu vào. Ngay cả khi người ta yêu cầu một công thức đầu vào không chứa mệnh đề nào được bổ sung bởi một mệnh đề khác, . Theo thuật toán tầm thường, đó cũng là trường hợp .s w ≥ log 3 > 1,58 s w ≥ 1,5 s w ≤ 1 + log $s_\omega = \inf_M\{\delta \mid \exists c\forall v\;( M\text{ decides } \text{SAT$_v$ in }2^{v\delta-c})\text{ time}) \}$$s_\omega \ge \log 3 \gt 1.58$$s_\omega \ge 1.5$$s_\omega \le 1+\log 3$

Tại sao có khoảng cách giữa và , giả sử SETH?s $s_\infty$$s_\omega$

Trong một số ý nghĩa, chỉ là một cách khác để vượt qua giới hạn, vì vậy có vẻ khó hiểu rằng cần phải có một khoảng cách.$s_\omega$

• Russell Impagliazzo và Ramamohan Paturi, vào độ phức tạp của -SAT$k$ , JCSS 62 367-375, 2001. doi: 10,1006 / jcss.2000.1727 ( bản thảo )
• Evgeny Dantsin và Alexander Wolpert, Vào thời gian theo cấp số nhân vừa phải cho SAT , SAT 2010, LNCS 6175 313 ​​Phản325. doi: 10.1007 / 978-3-642-14186-7_27 ( in sẵn )
• Chris Calabro, Russell Impagliazzo và Ramamohan Paturi, Sự phức tạp của sự hài lòng của các mạch sâu nhỏ , IWPEC 2009, LNCS 5917 75 Chuyện85. doi: 10.1007 / 978-3-642-11269-0_6 ( in sẵn )
• Marek Cygan, Holger Dell, Daniel Lokshtanov, Daniel Marx, Jesper Nederlof, Yoshio Okamoto, Ramamohan Paturi, Saket Saurabh, Magnus Wahlstrom, Trên vấn đề là cứng như CNF-SAT , arXiv: 1112.2275v3 , ngày 27 tháng 3 năm 2014.

Sự khác biệt giữa các định nghĩa của bạn là độ rộng mệnh đề trong được phép tăng theo số lượng biến, trong khi đối với nó lớn tùy ý nhưng không đổi.s $s_\omega$$s_\infty$

Đây là một vấn đề tương tự như PH vs PSPACE. Nếu bạn lấy số lượng thay đổi định lượng không đổi tùy ý, bạn sẽ có được hệ thống phân cấp đa thức, nhưng nếu bạn cho phép công thức được định lượng đầy đủ, bạn sẽ gặp vấn đề hoàn toàn PSPACE.

Cách tốt hơn để xác định các số mũ này là nếu bạn hỏi về thời gian chạy ở dạng , trong đó là một đa thức tùy ý của kích thước đầu vào. Sau đó, các vật phẩm như kích thước biến mất.p o l y ( | F | ) 3 $c^n\cdot poly(|F|)$$poly(|F|)$$3^v$