Độ phức tạp của tính toán thứ tự của một nhóm hoán vị

Cho hai hoán vị và trên phần tử (nghĩa là thành viên của ), độ phức tạp của việc tính toán thứ tự của nhóm con được tạo bởi gì? Hoặc chỉ quyết định xem nhóm con có theo thứ tự(tức là tất cả )?h n S n g , h n ! S $g$$h$$n$$S_n$$g,h$$n!$$S_n$

Như một bổ sung cho câu trả lời của Joshua Grochow:

Việc tính toán thứ tự của một nhóm hoán vị được đưa ra là bằng thuật toán Schreier của Sim Sim , xem thêm p. 8-9 trong số các bài giảng này của Luks. Cũng giống như thành viên trong các nhóm hoán vị, vấn đề được nhiều nhà nghiên cứu cho là hoàn thành P, nhưng cuối cùng nó đã được chứng minh là ở NC bởi Babai, Luks & Seress .

Sự phức tạp của các vấn đề đối với các nhóm hoán vị đã được nghiên cứu rộng rãi và sự phức tạp của chúng dần dần được giải quyết cho các nhóm abelian, nhóm nilpotent, các nhóm có thể giải quyết được, các nhóm có các yếu tố thành phần phi abelian và cuối cùng là các nhóm (xem tác phẩm của Babai, Cook, Furst, Hopcroft, Luks, McKenzie, Mulmuley, Seress và nhiều hơn nữa).

Thứ tự của các nhóm hoán vị có thể được tính theo thời gian đa thức. Trên thực tế, tôi tin ngay cả vào và thời gian Las Vegas gần như tuyến tính. Xem, ví dụ, cuốn sách của Seress .$\mathsf{NC}$

Để tham khảo, các nhóm con của (và các thuật toán liên quan ở đó) thường được gọi là "nhóm hoán vị" chứ không chỉ là "nhóm con (của )". Vì vậy, bạn có thể google "thuật toán nhóm hoán vị", v.v.S $S_n$$S_n$