Một định lý tổng trực tiếp cho độ phức tạp của mệnh đề Độ phân giải?

Nghị quyết là một kế hoạch để chứng minh sự không thỏa mãn của CNFs. Một bằng chứng về độ phân giải là một suy luận logic của mệnh đề trống cho các mệnh đề ban đầu trong CNF. Cụ thể, bất kỳ mệnh đề ban đầu nào cũng có thể được suy ra và từ hai mệnh đề và mệnh đề cũng có thể được suy ra. Từ chối là một chuỗi các khoản khấu trừ kết thúc bằng một mệnh đề trống. $A \lor x$ $B \lor \neg{x}$ $A \lor B$

Nếu từ chối như vậy được thực hiện, chúng ta có thể xem xét một thủ tục lưu giữ một số mệnh đề trong bộ nhớ. Trong trường hợp một mệnh đề không phải ban đầu phải được sử dụng lại và nó không còn trong bộ nhớ nữa, thuật toán phải được lặp lại từ đầu hoặc từ các mệnh đề trong bộ nhớ.

Đặt số mệnh đề nhỏ nhất được giữ trong bộ nhớ để đạt các mệnh đề trống. Đây được gọi là không gian điều khoản phức tạp của . Chúng tôi nói rằng là là thỏa đáng. $Sp(F)$ $F$ $Sp(F)=\infty$ $F$

Vấn đề tôi đề xuất là đây: hãy xem xét hai CNF và và để CNF $A=\bigwedge_{i=1}^m A_i$ $B=\bigwedge_{j=1}^n B_j$

A \lor B = ⋀_{i = 1}^{m} ⋀_{j = 1}^{n} A_{i} \lor B_{j}

$A \lor B = \bigwedge_{i=1}^m \bigwedge_{j=1}^n A_i \lor B_j$

Mối quan hệ của $Sp(A \lor B)$ với $Sp(A)$ và $Sp(B)$ gì?

Giới hạn trên rõ ràng là $Sp(A \lor B) \leq Sp(A) + Sp(B) -1$ . Cái này có chặt không?

— MassimoLauria
nguồn

Câu hỏi hay! Bạn có biết câu trả lời cho kích thước của tổng trực tiếp? Tôi đoán trường hợp xấu nhất là khi A và B không có các biến chung. Một trường hợp thú vị có thể là khi A và B giống nhau khi đổi tên biến. Btw, tôi không thấy làm thế nào bạn có được giới hạn trên, cảm giác như nó có thể tồi tệ hơn nhiều.

— Kaveh

Bây giờ tôi thấy phía trên ràng buộc, bạn có thể sao chép các bác bỏ cho cho cho để có được từng người một cho mỗi và sau đó làm bác bỏ cho . Kích thước sẽ vào khoảng .

B

$B$

A_{i} \lor B_{j}

$A_i \lor B_j$

1 \leq j \leq n

$1 \leq j \leq n$

A_{i}

$A_i$

1 \leq i \leq m

$1 \leq i \leq m$

A

$A$

m . (S i z e (B) + O (1)) + S i z e (A)

$m.(Size(B)+O(1))+Size(A)$

— Kaveh

Bạn đúng rồi. Tôi quên đề cập đến điều đó, nhưng tất nhiên trường hợp thú vị nhất theo giới hạn dưới là khi A và B không chia sẻ biến. Đó chính là trường hợp tôi đang thực sự quan tâm. Xét Một khác nhau và B là tốt hơn để quy nạp có được một kết quả cho nơi là bản sao biến rời nhau của cùng .

F_{1} \lor F_{2} \lor \dots F_{k}

$F_1 \lor F_2 \lor \ldots F_k$

F_{i}

$F_i$

F

$F$

— MassimoLauria

Lưu ý rằng về độ dài từ chối, bạn dễ dàng có

L e n g t h (A \lor B) \leq L e n g t h (B) | A | + L e n g t h (A)

$Length(A \lor B) \leq Length(B)|A|+Length(A)$

— MassimoLauria

Không gian tầm thường giới hạn trên thực sự đòi hỏi một mệnh đề ít hơn trong bộ nhớ. Tôi chỉnh sửa cho phù hợp.

— MassimoLauria

Tôi muốn đăng bài này như một bình luận, nhưng vì tôi không thể tìm ra cách để làm nên tôi đoán nó sẽ phải là một "câu trả lời" thay thế.

Tôi đồng ý rằng câu hỏi là tốt đẹp. Tất nhiên, câu hỏi tương tự cũng có thể được hỏi về độ dài của các lần từ chối độ phân giải (nghĩa là số mệnh đề xảy ra trong từ chối, được tính bằng số lần lặp lại) và độ rộng của từ chối (nghĩa là kích thước hoặc số lượng chữ xảy ra trong , mệnh đề lớn nhất trong từ chối).

Trong tất cả các trường hợp này đều có giới hạn trên "rõ ràng", nhưng tôi không rõ liệu người ta có nên mong đợi khớp với giới hạn dưới hay không. Vì vậy, tôi muốn thêm một câu hỏi và một nhận xét.

Câu hỏi liên quan đến chiều dài từ chối. Có vẻ hợp lý khi tin rằng giới hạn về độ dài được nêu trong nhận xét của Massimo là chặt chẽ, nhưng chúng ta có biết điều này không?

Và các bình luận quan tâm chiều rộng. Lưu ý rằng đối với biện pháp này, một khoảnh khắc suy nghĩ cho thấy rằng một tổng trực tiếp giới hạn dưới không giữ được. Đối với chiều rộng, thay vào đó, bác bỏ toàn bộ -formula cho mỗi mệnh đề , theo chiều rộng , cộng với chiều rộng của -formula, sau đó người ta bác bỏ -formula theo chiều rộng . Giả sử rằng cả hai công thức có chiều rộng ban đầu không đổi, độ rộng của từ chối của tổng trực tiếp về cơ bản sẽ là . $A$ $B_i$ $w_A$ $B$ $B$ $w_B$ $\max (w_A, w_B)$

Tất nhiên đây là một quan sát dễ dàng, nhưng vấn đề là nó có thể chỉ ra rằng câu hỏi về không gian có thể khó. Điều này là như vậy vì hầu như tất cả các giới hạn thấp hơn trên không gian trong phản xạ mà chúng ta biết đều đi qua các giới hạn chiều rộng thấp hơn. (Nghĩa là, giới hạn không gian thấp hơn có nguồn gốc độc lập, nhưng với nhận thức muộn, tất cả chúng đều đi theo như một hệ quả từ bài báo tuyệt đẹp "Một đặc tính kết hợp của độ rộng độ phân giải" của Atserias và Dalmau.) Nhưng nếu có một định lý tổng trực tiếp cho mệnh đề giải quyết không gian, nó sẽ không đi theo giới hạn chiều rộng thấp hơn mà phải được tranh luận trực tiếp, mà ít nhất cho đến nay dường như khó khăn hơn nhiều. Nhưng tất nhiên có thể có một số tranh luận dễ dàng mà tôi đang thiếu.

— Jakob Nordstrom
nguồn

Chào mừng, Jakob!

— arnab

Rất tiếc, các bình luận chỉ giới hạn ở những người có danh tiếng ít nhất là 50 - đây là một sự kỳ quặc của phần mềm và liên quan đến việc ngăn chặn thư rác. Tôi chắc chắn bạn sẽ vượt qua ngưỡng đó một cách nhanh chóng.

— Suresh Venkat

Xin chào Jakob, rất vui được gặp bạn ở đây. (ps: Tôi nghĩ bạn đã vượt qua ngưỡng.)

— Kaveh

Xin chào Jakob, tôi tự hỏi liệu loại tuyên bố này có một số hậu quả liên quan đến sự đánh đổi. Là một kỹ thuật ràng buộc thấp hơn sẽ không phải là một công cụ rất mạnh: bình phương chiều dài công thức trong khi không gian tăng tuyến tính. Dù sao tính chất này có thể dẫn đến công thức với chiều rộng nhỏ và không gian lớn (lưu ý rằng chiều rộng cũng tăng nếu số lần lặp lại không đổi được thực hiện).

— MassimoLauria