Kết quả trực quan cho sinh viên đại học

Tôi đang tìm kiếm các ví dụ về kết quả đi ngược lại với trực giác của mọi người để nói chuyện với khán giả nói chung. Kết quả mà nếu được hỏi từ những người không phải là chuyên gia "trực giác của bạn nói gì với bạn?", Hầu như tất cả sẽ hiểu sai. Tuyên bố kết quả nên dễ dàng giải thích cho sinh viên đại học trong cs / math. Tôi chủ yếu tìm kiếm kết quả trong khoa học máy tính.

Các kết quả phản trực quan / bất ngờ nhất (quan tâm chung) trong khu vực của bạn là gì?

Đối với một đối tượng chung, bạn phải bám vào những thứ mà họ có thể nhìn thấy . Ngay khi bạn bắt đầu đưa ra giả thuyết, họ sẽ khởi động điện thoại di động.

Dưới đây là một số ý tưởng có thể được thực hiện để hoàn thành các ví dụ:

1. Có một bề mặt chỉ có một mặt .
2. Một đường cong có thể lấp đầy toàn bộ hình vuông .
3. Có các đường cong chiều rộng không đổi khác với một vòng tròn.
4. Có thể tô màu máy bay với ba màu theo cách sao cho mọi điểm biên là một đường viền ba cạnh .

Nếu bạn có thể dựa vào một chút kiến ​​thức toán học, bạn có thể làm nhiều hơn:

1. Có nhiều số lẻ như số tự nhiên.
2. Có một chức năng khác biệt liên tục và không nơi nào .
3. Có một hàm không liên tục ở tất cả các số hữu tỷ và có thể phân biệt ở tất cả các số vô tỷ.$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. Các Banach-Tarski "nghịch lý" .

Đối với các lập trình viên, bạn có thể thử:

1. Các hàm không thể : có một chương trình lấy một vị ngữ p : stream → bool, trong đó streamlà kiểu dữ liệu của các chuỗi nhị phân vô hạn và trả về truenếu và chỉ nếu p αlà truecho tất cả các luồng α(đó là vô số), và falsengược lại.

2. Có thể chơi bài xì phé qua điện thoại một cách đáng tin cậy để ngăn chặn gian lận.

3. Một nhóm người có thể tính mức lương trung bình của họ mà không ai tìm ra mức lương của người khác.

4. Có một chương trình xây dựng cây nhị phân $T$ với các thuộc tính sau:

   • cây là vô hạn$T$
   • không có chương trình theo dõi một con đường vô tận trong $T$

Một ý tưởng là một cái gì đó đơn giản từ các thuật toán phát trực tuyến . Có lẽ ứng cử viên tốt nhất là thuật toán đa số. Giả sử bạn nhìn thấy một luồng số , một sau khi khác, và bạn biết một số xảy ra hơn một nửa thời gian, nhưng bạn không biết cái nào. Làm thế nào bạn có thể tìm thấy số đa số nếu bạn chỉ có thể nhớ hai số tại một thời điểm ? Câu trả lời là thuật toán Misra-Gries.$s_1, \ldots, s_n$

Ở mỗi bước bạn lưu một số từ luồng và bộ đếm tần số f . Khi bắt đầu, bạn đặt x thành số đầu tiên của luồng và khởi tạo tần số f thành 1. Sau đó, bất cứ khi nào bạn thấy một số mới s i , bạn kiểm tra xem x = s i . Nếu x = s i , tăng f thành f + 1 , nếu không thì giảm f xuống f - 1 . Nếu f = 0 , đặt x thành s $x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$và trở lại 1 . Sau phần tử cuối cùng của luồng, nếu có phần tử đa số, nó sẽ bằng x .$f$$1$$x$

Một ý tưởng khác là trò chơi nổi tiếng để minh họa bằng chứng kiến ​​thức bằng không . Tôi nghĩ đó là do Oded Goldreich và tương tự như bằng chứng kiến ​​thức bằng không đối với sự đẳng cấu đồ thị.

Để làm cho câu trả lời khép kín, đây là trò chơi. Giả sử bạn muốn thuyết phục người bạn mù màu của mình rằng bạn có thể nói màu đỏ từ màu xanh lá cây. Bạn của bạn có hai bộ bài, và anh ta biết một đống có màu xanh và cái kia có màu đỏ. Anh ta làm như sau mà không thấy bạn: với xác suất 1/2 anh ta rút một thẻ từ mỗi bộ bài, với xác suất 1/4 anh ta rút hai lá bài từ bộ bài bên trái, và với xác suất 1/4 anh ta rút hai lá bài từ bộ bài bên phải . Sau đó, anh ta cho bạn xem các thẻ và hỏi bạn nếu chúng có cùng màu. Nếu bạn không bị mù màu, tất nhiên bạn có thể trả lời chính xác mọi lúc. Nếu bạn bị mù màu, bạn sẽ thất bại với xác suất 1/2. Vì vậy, bây giờ nếu trò chơi được chơi 10 lần, xác suất bạn có thể giành chiến thắng mọi lúc trong khi bị mù màu là cực kỳ thấp.

Cú đá là nếu bạn của bạn biết hai cỗ bài có hai màu khác nhau, nhưng không biết cái nào là màu đỏ và màu xanh lá cây nào, cuối cùng anh ta vẫn không biết! Vì vậy, tóm lại:

1. Có chỗ cho sự ngẫu nhiên trong bằng chứng.
2. Bạn có thể thuyết phục ai đó bạn biết điều gì đó mà không cung cấp cho họ bất kỳ thông tin nào về nó.

Khối lượng của một quả cầu đơn vị chiều đầu tiên phát triển như n phát triển ( 2 , π , 4 π / 3 , ... ) nhưng bắt đầu giảm cho n = 6 và cuối cùng hội tụ để 0 như n → ∞ .$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

Một kết quả trực quan truy cập từ lý thuyết phức tạp là định lý PCP:

Một cách không chính thức, nói rằng với mỗi vấn đề A , có một máy Turing ngẫu nhiên hiệu quả có thể xác minh tính chính xác bằng chứng (bằng chứng về tư cách thành viên trong A ) bằng cách sử dụng số bit ngẫu nhiên logarit và chỉ đọc số bit không đổi từ bằng chứng. Hằng số có thể giảm xuống còn 3 bit. Do đó, trình xác minh ngẫu nhiên chỉ cần đọc ba bit từ bằng chứng được công bố.$NP$$A$$A$

Một điều chứng tỏ là phản trực giác đối với sinh viên đại học CS, đó là thực tế là người ta có thể chọn số liệu thống kê thứ từ một mảng chưa được sắp xếp của n phần tử trong thời gian O ( n ) . Tất cả các sinh viên nghĩ rằng trước tiên họ phải sắp xếp mảng (theo thời gian O ( n l g n ) ).$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

dựa trên câu trả lời / góc MdBs, một kết quả kinh điển của một cái gì đó phản trực giác tại thời điểm khám phá trong TCS tại cơ sở của nó là sự tồn tại của chính nó (un) tính quyết định. tại thời điểm chuyển giao 20 ^ngày kỷ Hilbert, phản ánh suy nghĩ của các nhà toán học hàng đầu khác của thời điểm đó, nghĩ rằng toán học có thể được hệ thống hóa (phần nào trong các hình thức của những gì chúng ta nhận ra là thuật toán ) & phần nào thông qua các khái niệm về "finitism" ( trong đó có tương đồng với ý tưởng về thuật toán là một chuỗi các bước hữu hạn). ông đề xuất các vấn đề mở nổi tiếng dọc theo những dòng này. trực giác của anh ấy (và những người khác) hóa ra là sai theo một cách ngoạn mục. đối kháng làĐịnh lý Godels và Turings Ngừng vấn đề . cả hai ban đầu đều là những khái niệm / kết quả cực kỳ trừu tượng và những bài báo / lập luận kỹ thuật cao, chỉ có thể hiểu được đối với các nhà toán học hàng đầu thời bấy giờ, nhưng bây giờ được tinh chỉnh thành các cấu trúc khái niệm đơn giản hơn và được dạy cho sinh viên đại học. ban đầu chúng không được xem là hai khía cạnh / khuôn mặt của cùng một hiện tượng nhưng bây giờ chúng là.

cũng phải mất gần ~ của một thế kỷ để chứng minh rằng các phương trình Diophantine nguyên là không thể giải được, bài toán thứ 10 của Hilberts . Điều này trái với trực giác theo nghĩa là người ta luôn biết rằng lý thuyết số là vô cùng khó khăn nhưng khái niệm rằng một số vấn đề cụ thể / có thể xác định được trong đó thực sự có thể "không thể giải quyết" gần như gây sốc cho một số người. tính không ổn định tiếp tục là một thách thức sâu sắc trong toán học / TCS ngay cả khi chúng ta có hàng thập kỷ tăng theo cấp số nhân về phần cứng do luật Moores và các siêu máy tính khổng lồ theo nghĩa vẫn "bất lực trước nó". Một số khía cạnh của sự ngạc nhiên về tính không ổn định có thể được tìm thấy trong cuốn sách Toán học, Mất sự chắc chắn của Klein.

Điều này có vẻ hiển nhiên, nhưng từ kinh nghiệm cá nhân, ý tưởng rằng bạn có thể ước tính trung vị của một bộ sưu tập các mặt hàng bằng cách sử dụng một số lượng hoạt động không đổi là một chút gây sốc. Và nếu điều đó có vẻ hơi quá kỹ thuật, bạn luôn có thể chuyển đổi nó thành một tuyên bố về các cuộc bầu cử (bạn cần 1300 người để lấy một mẫu với sai số 3%, bất kể quy mô dân số).

Liên quan đến điều này là nghịch lý sinh nhật tất nhiên.

Có lẽ một ví dụ điển hình (không liên quan trực tiếp đến độ phức tạp tính toán) là tính phổ quát Turing của các mô hình tính toán đơn giản.

Ví dụ: quy tắc 110 có hiệu quả (yếu) phổ quát:

Cho một mảng (vô hạn) gồm các ô 0-1 (trắng-đen) được khởi tạo đúng cách và các quy tắc thay thế đơn giản:

chúng tôi có một "máy tính làm việc"! :-)

Đối với định nghĩa "yếu" và "hiệu quả", và đối với các ví dụ khác về các máy Turing phổ dụng đơn giản, hãy xem: Turlough Neary, Damien Woods; Sự phức tạp của các máy Turing phổ quát nhỏ: một cuộc khảo sát .

Một ví dụ khó hiểu khác là tính hoàn chỉnh Turing của "ngôn ngữ lập trình" FRACTRAN :

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

Bạn cũng có thể sử dụng các mô hình khác, như hệ thống thẻ tuần hoàn, ant-automata, ....
Ý tưởng không trực quan là "tính toán" được ẩn gần như ở mọi nơi ... Wolfram đã viết 1192 trang chứa đầy số liệu và văn bản để tốt hơn bày tỏ ý tưởng đó trong Một loại khoa học mới của mình (vâng ... vâng ... mặc dù có một số đánh giá quan trọng cuối cùng tôi đã mua một bản sao cứng của nó :-)

Một vài ứng cử viên tốt ngoài đỉnh đầu của tôi:

• Mỗi NFA có một DFA tương đương

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• Mật mã khóa công khai

  • Gọi tới một hàm với các đối số được mã hóa và nhận kết quả mong muốn mà không tiết lộ thông tin về đầu vào của bạn

  • Mã hóa RSA

• Mã sậy-Solomon

• Khả năng đếm

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• Ở cấp độ triết học hơn, tôi ngạc nhiên rằng máy Turing xác định chính xác tính toán