Điều kiện đủ cho sự sụp đổ của hệ thống phân cấp đa thức (PH)

Một số khẳng định (không nổi tiếng) là gì nếu đúng, PH phải sụp đổ?

Các câu trả lời có chứa một xác nhận cấp cao ngắn với (các) tham chiếu được đánh giá cao. Tôi đã cố gắng tìm kiếm ngược mà không gặp nhiều may mắn.

Có một số (ngày càng tăng) các kết quả phức tạp được tham số hóa trong đó sự tồn tại của hạt nhân có kích thước đa thức ngụ ý sự sụp đổ của PH đến cấp độ thứ ba. Kỹ thuật trung tâm được đưa ra trong [1], dựa trên công việc trước đó (được tham khảo trong [1]).

Một ví dụ đơn giản, vấn đề -Path là phiên bản được tham số hóa của vấn đề Đường dẫn dài nhất:$k$

-Path$k$
Instance: Một đồ thị và số nguyên k . Thông số: k . Câu hỏi: G có chứa đường dẫn có độ dài k không?$G$$k$
$k$
$G$$k$

Vấn đề này là ở FPT (với các thuật toán phần nào thực tế), nhưng trong [2] nó chứng tỏ rằng nếu nó có một hạt nhân đa thức cỡ (trong ), thì PH sụp đổ để Σ P 3 . (Bản trình bày hiện tại thường được gọi là kết quả phân loại hạt âm trừ khi NP ⊆ coNP / poly hoặc coNP ⊆ NP / poly, vì vậy tìm kiếm một cái gì đó như "không có hạt nhân đa thức trừ khi" tạo ra rất nhiều kết quả.)$k$$\Sigma^{P}_{3}$$\subseteq$$\subseteq$

Người giới thiệu

1. HL Bodlaender, BMP Jansen và S. Kratsch, "Hạt nhân hóa giới hạn thấp hơn theo thành phần chéo", SIAM J. Toán rời rạc., 28 (2014), trang 277 Phản305. [phiên bản arXiv]
2. HL Bodlaender, RG Downey, MR Fellows, D. Hermelin, "Về các vấn đề không có hạt nhân đa thức", Tạp chí Khoa học Máy tính và Hệ thống, 75 (8): 423-434. 2009. [Phiên bản được lưu trữ tại Stanford]

Đây là một điều kiện thú vị khác theo đó hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống cấp thứ ba: Giả sử một ngôn ngữ hoàn chỉnh NP có khả năng tự giảm ngẫu nhiên (không thích nghi), sau đó hệ thống phân cấp đa thức sụp đổ xuống . Để tham khảo: Nhìn vào Ghi chú của Luca Trevisan . (Định lý 67)$\Sigma_{3}^{P}$

Một điều kiện thú vị khác là:

Chúng ta biết rằng xấp xỉ là trong B P P N P (Bây giờ B P P trong Σ P 2 làm cho xấp xỉ # 3 S Một T trong Σ P 3 ).$\#3SAT$$BPP^{NP}$$BPP$$\Sigma_2^{P}$$\#3SAT$$\Sigma_3^{P}$

Ngoài ra, lý Bằng Toda của, .$PH \subseteq P^{\#P}$

Kết hợp cả hai, chúng ta nhận được: Nếu xấp xỉ tương đương với tính toán chính xác # 3 S A T , thì Phân cấp đa thức sụp đổ.$\#3SAT$$\#3SAT$

Người giới thiệu:

[1] Jim Kadin, Hệ thống phân cấp thời gian đa thức sụp đổ nếu hệ thống phân cấp Boolean sụp đổ , Tạp chí SIAM về máy tính 17 (1988), không. 6, trang 1263 Vang1282, doi: 10.1137 / 0217080 .

[2] Richard Chang và Jim Kadin, Hệ thống phân cấp Boolean và hệ thống phân cấp đa thức: một kết nối chặt chẽ hơn , Tạp chí SIAM về Điện toán 25 (1996), không. 2, trang 340 trục354 , doi: 10.1137 / S0097539790178069 .

$\mathsf{NP}$$\mathsf{PH}$$\mathsf{NP}=\mathsf{UP}$$\mathsf{PH}$

$L \in \mathsf{NP}$$\varphi$$\varphi$$x$$(\varphi,x) \in L$$\varphi$ $x$$(\varphi,x) \in L$$\mathsf{PH}$

Một hình thức khác là:

$\mathsf{NPMV} \subseteq_c \mathsf{NPSV}$$\mathsf{PH}$

$A := \forall i , \Sigma^{P}_{i} \neq \Pi^{P}_{i}$$\mathbb{PH}$$A \implies B$

$\bar{B} \implies \bar{A}$$\mathbb{PH}$

1. $\mathbb{PH}$
2. $\mathbb{PH}$

$\mathbb{PH}$

Dưới đây là một số cái ngắn gọn:

1. $PSPACE \subseteq P/poly$
2. $EXP \subseteq P/poly$
3. $NP \subseteq P/log$