Treewidth

Đặt $k$ là cố định và để $G$ là đồ thị (được kết nối). Nếu tôi không nhầm, thì theo công trình của Bodlaender [1, Định lý 3.11] rằng nếu treewidth của $G$ có ít nhất $2k^3$ , thì $G$ chứa một ngôi sao $K_{1,k}$ là trẻ vị thành niên.

Chúng ta có thể làm cho thuật ngữ $2k^3$ nhỏ hơn không? Đó là, có phải nói treewidth ít nhất $k$ đã ngụ ý sự tồn tại của $K_{1,k}$ -minor? Có bằng chứng ở đâu đó không?

[1] Bodlaender, HL (1993). Trong các thử nghiệm nhỏ thời gian tuyến tính với tìm kiếm sâu đầu tiên. Tạp chí thuật toán, 14 (1), 1-23.

Thực sự là mọi đồ thị không có K 1 , k nhỏ đều có treewidth nhiều nhất là k - 1 . Chúng tôi chứng minh điều này dưới đây, trước tiên là một vài định nghĩa:$G$$K_{1,k}$$k-1$

Hãy là treewidth của G và ω ( G ) có kích thước tối đa của một phe nhóm trong G . Đồ thị H là tam giác của G nếu G là sơ đồ con của H và H là hợp âm (nghĩa là không có chu kỳ cảm ứng trên ít nhất 4 đỉnh). Một tam giác H của G là một tam giác tối thiểu nếu không có đồ thị con thích hợp của H cũng là một tam giác của G . Một tập con X các đỉnh của $tw(G)$$G$$\omega(G)$$G$$H$$G$$G$$H$$H$$4$$H$$G$$H$$G$$X$$G$là một tối đa bè lũ tiềm năng nếu có tồn tại một tam giác tối thiểu của G mà X là một bè lũ tối đa của H . Nó cũng được biết rằng t w ( G ) = min H ω ( H ) - 1 Ở đây, tối thiểu được thực hiện trên tất cả các triangulations tối thiểu H của G .$H$$G$$X$$H$

Công thức trên ngụ ý rằng để chứng minh rằng thì đủ để chứng minh rằng tất cả các nhóm cực đại tiềm năng của G có kích thước tối đa k . Bây giờ chúng tôi chứng minh điều này. Đặt X là một nhóm cực đại tiềm năng của G và giả sử rằng | X | ≥ k + 1 .$tw(G) \leq k-1$$G$$k$$X$$G$$|X| \geq k+1$

Chúng ta sẽ sử dụng đặc tính sau của các nhóm cực đại tiềm năng: một tập đỉnh là một cụm cực đại tiềm năng trong G nếu và chỉ khi, đối với mỗi cặp u , v của các đỉnh không liền kề (riêng biệt) trong X có một đường dẫn P u , v từ u đến v trong G với tất cả các đỉnh nội bộ của mình bên ngoài của X . Đặc tính này có thể được tìm thấy trong phần Thông tin cây và Điền tối thiểu trên giấy : Nhóm các Dấu tách tối thiểu của Bouchitte và Todinca.$X$$G$$u$$v$$X$$P_{u,v}$$u$$v$$G$$X$

Với đặc tính này, nó rất dễ dàng để lấy được một nhỏ từ X . Hãy u ∈ X . Với mọi đỉnh v ∈ X ∖ { u } , hoặc u v là cạnh của G hoặc có đường dẫn P u , v từ$K_{1,k}$$X$$u \in X$$v \in X \setminus \{u\}$$uv$$G$$P_{u,v}$ tới v với tất cả các đỉnh nội bộ bên ngoài X . Với mọi v ∈ X không liền kề với u, tất cả các đỉnh bên trong của P $u$$v$$X$$v \in X$$u$ vàou. Chúng tôi kết thúc với một số nhỏ củaGtrong đóuliền kề với tất cảXvà | X | ≥k+1. Vì vậy, mức độ củautrong trẻ vị thành niên này ít nhất làk, hoàn thành bằng chứng.$P_{u,v}$$u$$G$$u$$X$$|X| \geq k+1$$u$$k$