Những thuật toán ngẫu nhiên có xác suất lỗi nhỏ theo cấp số nhân?

Giả sử rằng một thuật toán ngẫu nhiên sử dụng bit ngẫu nhiên. Xác suất lỗi thấp nhất mà người ta có thể mong đợi (không đạt được thuật toán xác định có lỗi 0) là . Những thuật toán ngẫu nhiên đạt được xác suất lỗi tối thiểu như vậy? $r$ $2^{-\Omega(r)}$

Một vài ví dụ xuất hiện trong tâm trí là:

Các thuật toán lấy mẫu, ví dụ, trong đó người ta muốn ước tính kích thước của một tập hợp mà người ta có thể kiểm tra tư cách thành viên. Nếu một mẫu thống nhất ngẫu nhiên các yếu tố cần kiểm tra, ràng buộc Chernoff đảm bảo xác suất lỗi nhỏ theo cấp số nhân.
Thuật toán Karger-Klein-Tarjan để tính toán cây bao trùm tối thiểu. Thuật toán chọn mỗi cạnh với xác suất 1/2 và đệ quy tìm MST trong mẫu. Người ta có thể sử dụng Chernoff để lập luận rằng theo cấp số nhân sẽ không có 2n + 0,1m cạnh tốt hơn cây (nghĩa là người ta thích đưa chúng qua một trong các cạnh của cây).

Bạn có thể nghĩ về các ví dụ khác?

Theo câu trả lời của Andras bên dưới: Thật vậy, mọi thuật toán thời gian đa thức đều có thể được chuyển đổi thành thuật toán thời gian đa thức chậm hơn với xác suất lỗi nhỏ theo cấp số nhân. Tôi tập trung vào các thuật toán hiệu quả nhất có thể. Đặc biệt, đối với hai ví dụ tôi đã đưa ra, có các thuật toán thời gian đa thức xác định để giải quyết các vấn đề. Sự quan tâm đến các thuật toán ngẫu nhiên là do hiệu quả của chúng.

randomized-algorithms

— Dana Moshkovitz
nguồn

Không phải là một câu trả lời hoàn chỉnh, nhưng đã có một số công việc trong đại số tuyến tính số ngẫu nhiên. youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— Rồng con

Có lẽ người ta không thể mong đợi nó, nhưng người ta chắc chắn có thể hy vọng (vẫn "thiếu một thuật toán xác định có 0 lỗi") cho tất cả các số thực

c

$c\hspace{-0.02 in}$ , nếu

c < 1

$\: c<1 \:$ sau đó có một thuật toán có xác suất lỗi là . Tôi tin rằng Kiểm tra nhận dạng đa thức là một vấn đề như vậy.

$\hspace{.34 in}$

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$

$\:$

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer Tôi không hiểu bình luận của bạn. Thuật toán ngẫu nhiên thông thường cho PIT có lỗi không theo cấp số nhân trong tính ngẫu nhiên. Vì vậy, những gì bạn đang nói? Bạn đang nói rằng có thể tồn tại một thuật toán như vậy cho bất kỳ vấn đề BPP nào?

— Sasho Nikolov

Bây giờ tôi nhận ra rằng tôi thực sự không thấy bất kỳ cách nào thể hiện rằng thuế TNCN trong lớp tôi đã mô tả. Mặt khác, để là siêu đa thức trong (nghĩa là để độ dài (S) là siêu tuyến tính theo chiều dài (d)) sẽ đủ cho bổ đề Schwartz-Zippel (tiếp tục ...)

$\:$

S

$S$

d

$d$

$\:$

$\;\;\;\;$

Nhiều công trình xây dựng phương pháp probabilsitic có hành vi như vậy, không? Ví dụ: chọn một bộ chuỗi nhị phân ngẫu nhiên và tìm kiếm cặp gần nhất của chúng - xác suất có hai chuỗi có khoảng cách nhỏ hơn là rất nhỏ. -------------------------------------------------- ----------------------- Theo tinh thần của câu trả lời BPP dưới đây: Cho một mức mở rộng mức độ không đổi, với n đỉnh và đỉnh được đánh dấu, xác suất của một bước đi ngẫu nhiên có độ dài để bỏ lỡ một đỉnh đánh dấu là

, nếu

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Sariel Har-Peled

Câu trả lời:

Impagliazzo và Zuckerman chứng minh (FOCS'89, xem ở đây ) rằng nếu một BPP sử dụng thuật toán bit ngẫu nhiên để đạt được một xác suất đúng đắn của ít nhất 2/3, sau đó, áp dụng quãng đường ngẫu nhiên trên đồ thị nở, điều này có thể được cải thiện để một xác suất đúng đắn từ , sử dụng các bit ngẫu nhiên . ( Lưu ý: trong khi các tác giả sử dụng hằng số cụ thể 2/3 trong bản tóm tắt, nó có thể được thay thế bằng bất kỳ hằng số nào khác lớn hơn 1/2.) $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

Nếu chúng ta lấy , phương tiện này mà bất kỳ thuật toán BPP mà đạt được một xác suất lỗi liên tục , sử dụng bit ngẫu nhiên, có thể (không trivially) cải thiện để có lỗi xác xuất . Do đó, (trừ khi tôi hiểu lầm gì đó), xác suất lỗi của có thể đạt được cho mỗi vấn đề trong BPP. $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— Andras Farago
nguồn

Vấn đề với các kỹ thuật khuếch đại như vậy là chúng làm chậm thuật toán. Thuật toán mới chỉ có thể sử dụng các bit ngẫu nhiên O (r), nhưng thời gian chạy của nó là r lần (thời gian ban đầu). Nếu r là, ít nhất là tuyến tính trong kích thước đầu vào n (thường là vậy), bạn chỉ cần làm chậm thuật toán theo hệ số n. Đó không phải là điều mà hầu hết các nhà thuật toán sẽ hài lòng về ...

— Dana Moshkovitz

Tôi không chắc đây là thứ bạn đang tìm, nhưng nó có liên quan:

$k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

Phân tích tiêu chuẩn của thử nghiệm nguyên thủy Miller-Rabin cho thấy các vòng cho xác suất thất bại tối đa là . Điều này, cùng với các định lý số nguyên tố, có nghĩa $t$ $4^{-t}$

p_{k, t} \leq O (k \cdot 4^{- t}) .

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

$t=1$

p_{k, 1} \leq 2^{- (1 - o (1)) \frac{k \ln \ln k}{\ln k}} \leq 2^{- \tilde{Ω} (k)} .

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

Xem Erdös và Pomerance (1986) , Kim và Pomerance (1989) , và Dåmgard, Landrock và Pomerance (1993) để biết thêm chi tiết.

$O(k^2)$ $O(k)$

— Thomas ủng hộ Monica
nguồn