Hai biến thể của NP

Dưới đây là hai biến thể về định nghĩa của NP. Họ (gần như chắc chắn) định nghĩa các lớp phức tạp riêng biệt, nhưng câu hỏi của tôi là: có những ví dụ tự nhiên về các vấn đề phù hợp với các lớp này không?

(Ngưỡng của tôi cho những gì được coi là tự nhiên ở đây thấp hơn một chút so với bình thường.)

Lớp 1 (một siêu lớp của NP): Các vấn đề với các nhân chứng có kích thước đa thức mất thời gian siêu đa thức nhưng không phụ thuộc để xác minh. Để cụ thể, hãy nói thời gian . Điều này tương đương với lớp ngôn ngữ được công nhận bởi các máy không xác định mất thời gian nhưng chỉ có thể đưa ra các phỏng đoán không đa nghĩa. $n^{O(\log n)}$ $n^{O(\log n)}$

Có vấn đề tự nhiên nào trong lớp 1 không được biết / nghĩ là ở hay ở không? $NP$ $DTIME(n^{O(\log n)})$

Lớp 1 là một lớp ngôn ngữ, như thường lệ. Lớp 2, mặt khác, là một lớp các vấn đề quan hệ:

Lớp 2: Một quan hệ nhị phân R = {(x, y)} nằm trong lớp này nếu

Có một đa thức p sao cho (x, y) trong R ngụ ý | y | nhiều nhất là p (| x |).
Có một thuật toán thời gian poly (| x |) A sao cho tất cả các đầu vào x, nếu có ay sao cho (x, y) nằm trong R, thì (x, A (x)) nằm trong R và nếu không có y như vậy thì A (x) từ chối.
Đối với bất kỳ thuật toán B (| x |) thời gian poly nào, có vô số cặp (x, w) sao cho B (x, w) khác với R (x, w) (ở đây tôi đang sử dụng R để biểu thị đặc tính riêng của nó chức năng).

Nói cách khác, đối với tất cả các trường hợp, một số nhân chứng rất dễ tìm thấy nếu có. Và chưa phải tất cả các nhân chứng đều dễ dàng kiểm chứng.

(Lưu ý rằng nếu R ở trong lớp 2, thì phép chiếu của R lên nhân tố đầu tiên của nó chỉ đơn giản là ở P. Đây là điều tôi muốn nói khi nói rằng lớp 2 là một lớp các vấn đề quan hệ.)

Có vấn đề quan hệ tự nhiên trong lớp 2?

— Joshua Grochow
nguồn

Tôi không chắc chắn về câu hỏi. Bạn có muốn các vấn đề rõ ràng là ở một trong các lớp nhưng không phải là các lớp khác không?

— Lev Reyzin

Không. Đối với mỗi lớp, tôi tự hỏi riêng nếu có những vấn đề tự nhiên phù hợp với lớp nhưng không được biết là phù hợp với các lớp phức tạp tiêu chuẩn khác. Ví dụ, tôi muốn biết nếu có một vấn đề tự nhiên trong lớp 1 mà không được biết là trong NP.

— Joshua Grochow

Tôi nghĩ rằng bạn muốn viết lại điều kiện 2 cho Lớp 2, vì nếu không thì A có thể là thuật toán tầm thường luôn từ chối. Mô tả bằng lời của bạn dưới đây có vẻ hợp lý hơn.

— Andy Drucker

Đối với Lớp 2, một ví dụ hơi ngớ ngẩn là R (p, a) = {p là một đa thức số nguyên, a nằm trong phạm vi của p và | a | = O (poly (| p |)}. R thuộc Lớp 2 nhưng không thể giải quyết được

— Andy Drucker

Andy - tại sao không đăng nó như một câu trả lời thay vì một bình luận?

— Joshua Grochow

Đối với lớp 2, một ví dụ hơi ngớ ngẩn là

R (p, a) = {p là một đa thức số nguyên, a nằm trong phạm vi của p và | a | = O (poly (| p |)}.

R thuộc lớp 2 nhưng không thể giải quyết được.

— Andy Drucker
nguồn

{x : | p (x) | \leq r (| p |)}

$\{x : |p(x)| \leq r(|p|)\}$

p

$p$

a = 0

$a = 0$

R (p, a)

$R(p, a)$

p = 0

$p = 0$

À đúng rồi. Đó cũng là cách tôi thuyết phục bản thân mình trước đây :). Cảm ơn.

— Joshua Grochow

Tôi sẽ yêu cầu bạn làm rõ điều kiện làm chứng trong lớp 1 một chút. Dường như bất kỳ vấn đề ràng buộc thích hợp nào từ co-NP dường như sẽ thực hiện mánh khóe, đây có phải là những gì bạn dự định không?

$\log n$

— Magnus Wahlström
nguồn

n^{O (\log n)}

$n^{O(\log n)}$

N P

$NP$

N P

$NP$

D T I M E (n^{O (\log n)})

$DTIME(n^{O(\log n)})$ (Tôi sẽ cập nhật câu hỏi tương ứng). Tôi tự hỏi nếu một phiên bản của một số vấn đề tham số hóa khác có thể thực hiện được mánh khóe, nhưng tôi không quá quen thuộc với sự phức tạp của tham số hóa.

— Joshua Grochow

$f$

$f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

$\exists x \forall y f(x_1,x_2,\ldots, x_n,y_1,y_2,\ldots,y_m)$

Nó có thể không có trong QP vì nó có thể biểu thị tất cả các vấn đề trong NP và có lẽ nó không ở NP vì nó có thể thể hiện tất cả các vấn đề trong co-NTIME (polylog).

— Robin Kothari
nguồn

f

$f$

n + m

$n+m$

x_{i}

$x_i$

y_{j}

$y_j$

Vâng, tôi đoán rằng sẽ làm việc.

— Robin Kothari