Tìm kiếm một đồng xu thiên vị bằng cách sử dụng một vài lần tung đồng xu

Vấn đề sau đây xuất hiện trong quá trình nghiên cứu và thật đáng ngạc nhiên:

Bạn có một nguồn tiền. Mỗi đồng xu có một thành kiến, cụ thể là xác suất rơi vào "đầu". Đối với mỗi đồng xu một cách độc lập, có xác suất 2/3 rằng nó có độ lệch ít nhất là 0,9 và với phần còn lại của xác suất, độ lệch của nó có thể là bất kỳ số nào trong [0,1]. Bạn không biết những thành kiến của đồng tiền. Tất cả những gì bạn có thể làm ở bất kỳ bước nào là tung đồng xu và quan sát kết quả.

Đối với một n nhất định, nhiệm vụ của bạn là tìm một đồng xu có độ lệch ít nhất là 0,8 với xác suất ít nhất là . Bạn có thể làm điều đó bằng cách chỉ sử dụng tung đồng xu O (n) không? $1-\exp(-n)$

ds.algorithms pr.probability

— Dana Moshkovitz
nguồn

Có vẻ như rất khó đối với tôi, vì việc tung

dường như được yêu cầu chỉ để xác định xem một đồng tiền nhất định có độ lệch cao hay không với độ tin cậy

. (Chúng tôi cũng có thể giả định rằng mỗi đồng xu có độ lệch

hoặc

.) Bạn có bất cứ điều gì tốt hơn so với các lần tung

không?

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— usul

Tôi đã không kiểm tra toán, nhưng ý tưởng sau đây có vẻ đầy hứa hẹn: Đối với mỗi đồng xu (liên tiếp) hãy làm bài kiểm tra sau. Chọn một tham số

, giả sử

và thực hiện bước đi ngẫu nhiên trên dòng bằng cách sử dụng đồng xu. Ở mỗi bước

, nếu độ lệch từ

nhỏ hơn

, hãy loại bỏ đồng xu. Tiền xu có độ lệch .9 sẽ vượt qua bài kiểm tra này với xác suất không đổi và các đồng xu không thành công sẽ thất bại sau các bước O (1) trong kỳ vọng, ngoại trừ các đồng xu có độ lệch rất gần với

. Chọn

ngẫu nhiên trong khoảng từ

đến

cho mỗi đồng xu có thể khắc phục điều này.

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— daniello

Would

có được không? Bạn có biết một giải pháp với

quăng không?

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Robin Kothari

Quan sát số 1: Nếu bạn biết rằng tất cả các đồng xu đều có độ lệch ít nhất là 0,9 hoặc nhiều nhất là 0,8, thì có thể tìm thấy một đồng xu có độ lệch ít nhất là 0,9 với xác suất 1-exp (-n) bằng cách sử dụng tung O (n) : lấy một đồng xu, với i = 1,2,3, ..., ném đồng xu trong 2 ^ i lần và kiểm tra xem phần đầu có ít nhất 0,89 hay không. Nếu không, hãy khởi động lại với một đồng tiền mới. Bổ đề chính: nếu khởi động lại ở giai đoạn i, sau đó có ít hơn 2 ^ {i + 1} tung đồng xu, và thăm dò nhiều nhất là exp (- \ Omega (i)).

— Dana Moshkovitz

Hoàn toàn có thể là các cú lật O (nlogn) là cần thiết và đủ - nhưng chúng ta chưa có bằng chứng nào cho điều đó.

— Dana Moshkovitz

Sau đây là thuật toán quăng $O(n \log n)$ khá đơn giản .

Giả sử $1-\exp(-n)$ là xác suất lỗi mà chúng ta đang hướng tới. Đặt $N$ là lũy thừa của $2$ trong khoảng từ $100n$ đến $200n$ (chỉ cần một số lần đủ lớn $n$ không đổi ). Chúng tôi duy trì một bộ ứng cử viên của tiền xu, $C$ . Ban đầu, chúng tôi đặt $N$ tiền xu trong $C$ .

Bây giờ cho $i=1,\dots,\log N$ , làm như sau:
Toss từng đồng xu trong $C$ cho $D_i = 2^i 10^{10}$ lần (chỉ một số hằng số đủ lớn).
Giữ các đồng xu $N/2^i$ với hầu hết các đầu.

Bằng chứng được dựa trên một vài giới hạn của Chernoff. Ý tưởng chính là chúng tôi một nửa số lượng ứng cử viên mỗi lần và do đó có thể đủ khả năng gấp đôi số lần tung của mỗi đồng xu.

— Kasper xanh Larsen
nguồn

(1) Sẽ rất tốt nếu viết ra bằng chứng chi tiết hơn - phần lớn khó khăn trong vấn đề này là ở đâu để đặt ngưỡng cho ràng buộc của Chernoff (bạn dự kiến sẽ nhìn thấy bao nhiêu đầu từ 0,9 xu thiên vị?) . (2) Bạn có thể chỉ ra rằng việc tung đồng xu nlogn là cần thiết không?

— Dana Moshkovitz

Sự tinh tế là thế này: bạn bắt đầu với n xu, và ngoại trừ với exp exp nhỏ trong n, có ít nhất 0,6n xu sai lệch 0,9. Bây giờ có một thử nghiệm liên tục rằng các đồng xu thiên vị 0,9 thua cuộc cạnh tranh: 1 đồng xu có độ lệch nhỏ hơn 0,8 (có thể xảy ra trên đầu mọi lúc!), 2 đồng xu có độ lệch 0,8 + 1 / logn, ..., n / 10 đồng xu có độ lệch 0,9 - 1 / log n. Tiếp tục theo cách tương tự, trong đó độ lệch của các đồng tiền được chọn sẽ giảm dần theo mỗi lần lặp, cho đến khi bạn còn lại với đồng xu sai lệch <0,8.

— Dana Moshkovitz

Đây ít nhiều là thuật toán loại bỏ trung vị của Evan-Dar et. al. Như Mannor và Tsitsiklis đã thể hiện trong Độ phức tạp mẫu của Thăm dò trong Vấn đề tên cướp đa vũ trang, nó có thể được sử dụng để tung đồng xu

dự kiến khi xu hướng mục tiêu được biết đến như trong trường hợp này.

O (n)

$O(n)$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Cảm ơn đã tham khảo! Tôi quan tâm đến số lượng xu tối đa ném một nhu cầu và trong trường hợp này, chúng hiển thị giới hạn dưới 2 ^. Tuy nhiên, vấn đề họ xem xét khác với tôi. Họ có n xu, có thể chỉ có một đồng xu thiên vị nhất và họ muốn tìm một đồng tiền có xu hướng tương tự. Trong thiết lập của tôi, tôi biết rằng có ít nhất 0,6 tỷ đồng với độ lệch chấp nhận được (ngoại trừ đầu dò nhỏ theo cấp số nhân trong n).

— Dana Moshkovitz

Tôi đoán dự kiến

tung rất dễ dàng cho vấn đề của chúng tôi: Bắt đầu với các đồng tiền đầu tiên và làm

tung đối với một số không đổi lớn trong

-notation. Nếu nó ra khỏi đầu ít nhất

lần, hãy trả lại. Nếu không thì tiếp tục đến các đồng tiền tiếp theo. Xác suất chính xác là

và bằng những đồng xu đầu vào là 0,9 thiên vị một cách độc lập với xác suất

, khả năng đạt

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$ 'th xu là ít hơn

và do đó số lượng dự kiến của tung là

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$

— Kasper Green Larsen