Làm thế nào để chứng minh rằng USTCONN yêu cầu không gian logarit?

USTCONN là vấn đề yêu cầu quyết định xem có đường dẫn từ đỉnh nguồn $s$ đến đỉnh đích trong đồ thị , trong đó tất cả đều được đưa ra như một phần của đầu vào.$t$$G$

Omer Reingold cho thấy USTCONN đang ở L (doi: 10.1145 / 1391289.1391291 ). Bằng chứng xây dựng một bộ mở rộng mức độ không đổi bằng các sản phẩm zig-zag. Một thiết bị mở rộng mức độ không đổi có đường kính logarit và sau đó người ta có thể kiểm tra tất cả các đường dẫn có thể bằng cách sử dụng một số lượng các dấu hiệu kích thước logarit không đổi.

Kết quả của Reingold đưa ra một logarit giới hạn trên độ phức tạp không gian của USTCONN, giải quyết độ phức tạp không gian của nó "lên đến một yếu tố không đổi" theo bài báo. Tôi tò mò về giới hạn dưới tương ứng, không được đề cập ở bất cứ nơi nào khác trong bài báo.

Làm thế nào để chứng minh rằng không gian logarit là cần thiết để quyết định USTCONN trong trường hợp xấu nhất?

Chỉnh sửa: Khắc phục biểu diễn đầu vào là ma trận kề của đồ thị hướng đơn giản đối xứng -vertex bên dưới , với các hàng được liệt kê liên tiếp để tạo thành chuỗi bit.N N $N \times N$$N$$N^2$

Lewis và Papadimitriou đã cho thấy (doi: 10.1016 / 0304-3975 (82) 90058-5 ) rằng USTCONN là SL hoàn chỉnh, với kết quả của Reingold ngụ ý rằng SL = L. Savitch đã hiển thị (doi: 10.1016 / S0022-0000 (70) 80006-X ) rằng . Hơn nữa đối với bất kỳ chức năng tính toán bởi Stearns, Hartmanis và Lewis (doi: 10,1109 / FOCS .1965.11 ), do đó, cần ít nhất không gian cho USTCONN. Cuối cùng, các lớp thông thường được biết là nằm dưới L (chẳng hạn như \ text {NC} ^ 1DSPACE ( f ( n ) ) = DSPACE ( 1 ) f ( n ) = o ( log log n $\text{NSPACE}(n) \subseteq \text{DSPACE}(n^2)$$\text{DSPACE}(f(n)) = \text{DSPACE}(1)$$f(n) = o(\log\log n)$NC $\Omega(\log\log n)$$\text{NC}^1$) được định nghĩa theo các mạch và rõ ràng không thể so sánh với bất kỳ lớp nào được định nghĩa theo giới hạn của không gian.

Theo như tôi có thể thấy, điều này mở ra khả năng (không thể thừa nhận) rằng có một thuật toán xác định thậm chí còn tốt hơn chỉ sử dụng không gian $O((\log n)^\delta)$ nhưng $\Omega(\log \log n)$ , đối với một số $\delta < 1$ hoặc thậm chí là thuật toán không xác định cho USTCONN sử dụng không gian $o((\log n)^{1/2})$ .

Theo định lý phân cấp không gian , miễn là có thể xây dựng được không gian. Điều này dường như có thể gợi ý rằng USTCONN không thể ở . Tuy nhiên, USTCONN đã hoàn thành cho L theo việc giảm logspace dường như không ngụ ý điều này. Có vẻ như USTCONN có đủ cấu trúc để mã hóa bất kỳ vấn đề nào trong L bằng cách giảm logspace, nhưng bản thân USTCONN chỉ yêu cầu không gian sublogarithmic.$\text{DSPACE}(o(f(n)) \subsetneq \text{DSPACE}(f(n))$$f(n)$$\text{DSPACE}(o(\log n))$

Miễn là có một số ngôn ngữ trong L yêu cầu không gian logarit, sau đó cho thấy USTCONN đã hoàn thành cho L theo "yếu" hơn so với giảm logspace sẽ mang lại giới hạn thấp hơn mong muốn.

USTCONN có hoàn thành cho L theo mức giảm yêu cầu không gian không?$o(\log n)$

Immerman đã chỉ ra (doi: 10.1137 / 0216051 ) rằng một phiên bản của khả năng tiếp cận theo hướng trong đó đường dẫn mong muốn (nhưng không phải là biểu đồ) là xác định, hoàn thành cho L theo các mức giảm bậc 1, được tính toán bởi các mạch AC . Điều này có lẽ sau đó có thể được điều chỉnh để cho thấy USTCONN đã hoàn thành cho L theo mức giảm FO. Tuy nhiên, mặc dù AC được chứa nghiêm ngặt trong L, AC lại là một lớp mạch và tôi không biết cách nào để thực hiện giảm FO trong không gian sublogarithmic.$^0$$^0$$^0$

Chỉnh sửa 2015/07/14: Đây là một vấn đề triết học thú vị cho dù việc sử dụng không gian của TM nên bao gồm kích thước của một chỉ mục vào đầu vào (do đó cho phép truy cập ngẫu nhiên vào đầu vào, nhưng cần thêm một chút nếu đầu vào tăng gấp đôi kích thước ) hoặc liệu không gian được sử dụng bởi TM là số lượng hình vuông bàn làm việc được truy cập trong quá trình tính toán (giả định rằng đầu băng đầu vào được cố định và không thay đổi khi băng đầu vào tăng gấp đôi kích thước). Định nghĩa kiểu RAM trước đây ngay lập tức cung cấp một không gian log ràng buộc thấp hơn cho bất kỳtính toán và mô hình các máy tính hiện tại theo dõi vị trí hiện tại trong một tệp dưới dạng bù từ đầu tệp. Định nghĩa cổ điển sau này giả sử một băng giống như giấy với đầu đọc cố định mà không biết gì về băng khác với ký hiệu đầu vào hiện tại, có thể là những gì Turing dự định trong bài báo năm 1937 của mình.

Các đối số heuristic như nhận xét của Thomas, rằng thậm chí không thể lập chỉ mục đầu vào với các bit không gian, dường như giả định một định nghĩa kiểu RAM hiện đại. Stearns / Hartmanis / Lewis sử dụng định nghĩa kiểu TM, cũng như hầu hết các tác phẩm cổ điển trong tính toán giới hạn không gian.$o(\log n)$

Người ta có thể chứng minh một không gian log ràng buộc thấp hơn cho USTCONN được biểu diễn dưới dạng ma trận kề, bằng cách lưu ý rằng ngôn ngữ đơn phương của các hình vuông hoàn hảo đòi hỏi logspace phải nhận ra (xem Rūsiņš Freivalds, Mô hình tính toán, Giả thuyết Riemann và Toán học cổ điển , SOFSEM 1998, LNCS 15, 89 Phần mềm 106. doi: 10.1007 / 3-540-49477-4_6 ( bản in sẵn)). Sau đó, giới hạn dưới tương tự áp dụng cho USTCONN với biểu diễn ma trận kề. Điều này có lẽ là quá nhiều gian lận: thường thực thi lời hứa trong một vấn đề hứa hẹn có nghĩa là dễ dàng so với vấn đề thực tế, nhưng ở đây thực thi lời hứa rằng đầu vào là một biểu đồ đã đưa ra giới hạn dưới. Vì vậy, thật tuyệt khi thấy một đối số cho một không gian log bị ràng buộc thấp hơn cho vấn đề hứa hẹn trong đó đầu vào được đảm bảo là từ ngôn ngữ .$\{\{0,1\}^{N \times N} \mid N=1,2,\dots\}$

Các giấy Quantifiers đếm, Kế Quan hệ và Logarithmic Space , bởi Kousha Etessami chứng minh rằng vấn đề (trong đó chủ yếu là kiểm tra nếu một đỉnh s đến trước một đỉnh t trong một outdegree một đồ thị G , đó là hứa sẽ là một đường dẫn) là L -hard theo dự đoán miễn phí định lượng.$\mathbf{ORD}$$s$$t$$G$$\mathsf{L}$

Vấn đề có thể được nhìn thấy đảm bảo giảm đến vấn đề U S T C O N N , bởi F O -reductions: Cho một ví dụ ⟨ G , s , t ⟩ của O R D chỉ cần xóa mép ra khỏi t và đầu ra các cạnh khác u → v như cạnh vô hướng { u , v } các u S T C O N N câu hỏi là liệu$\mathbf{ORD}$$\mathbf{USTCONN}$$\mathsf{FO}$$\langle G,s,t\rangle$$\mathbf{ORD}$$t$$u \rightarrow v$$\{u,v\}$$\mathbf{USTCONN}$ được kết nối trong biểu đồ kết quả. (Lưu ý: Việc giảm có thể được thực hiện thậm chí tốt hơn.)$s,t$