P / poly NP / poly có bất kỳ ý nghĩa thú vị nào không?

$P/poly = NP/poly$ ngụ ý , do đó có những hậu quả thú vị như sự sụp đổ của hệ thống phân cấp đa thức.$NP \subseteq P/poly$

Có ý nghĩa thú vị nào cho không?$P/poly \neq NP/poly$

Nhận xét của Emil Jeřábek trả lời câu hỏi:

P / poly NP / poly tương đương với NP P / poly$=$$\subseteq$

Lưu ý hệ quả

P / poly NP / poly ngụ ý P NP.$\neq$$\neq$

Bằng chứng của hệ quả:

1. P / poly NP / poly là tương đương với NP ⊆ P / poly (comment Emil của)$=$$\subseteq$$\ $
2. NP P / poly ngụ ý P / poly = NP / poly (ngụ ý bởi 1.)$\subseteq$$=$$\ $
3. P / poly NP / poly ngụ ý NP ⊈ P / poly (tương đương 2.)$\neq$$\not\subseteq$$\ $
4. NP P / poly ngụ ý P ≠ NP (P ⊆ P / poly)$\not\subseteq$$\neq$$\ $$\subseteq$
5. P / poly NP / poly ngụ ý P ≠ NP (ngụ ý bởi 3. và 4.)$\neq$$\neq$$\ $

Bằng chứng về bình luận Emil của: Nó là đủ để chứng minh rằng NP P / poly ngụ ý P / poly = NP / poly.$\subseteq$$=$

1. Vì vậy, hãy giả sử NP P / poly.$\subseteq$
2. Bởi vì SAT NP có tồn tại p S Một T ≥ k S Một T > 0 và một chuỗi các lời khuyên xâu s n với | s n | ≤ n k S A T , một thuật toán xác định có thể quyết định các trường hợp SAT có kích thước n trong thời gian ≤ n p S A T , nếu nó có quyền truy cập vào s n . Wlog, rằng thuật toán cũng có thể quyết SAT trường hợp của kích thước ≤ $\in$$p_{SAT}\geq k_{SAT}>0$$s_n$$\left|s_n\right|\leq n^{k_{SAT}}$$n$$\leq n^{p_{SAT}}$$s_n$$\leq n$, bởi vì chúng ta có thể định nghĩa một chuỗi đã sửa đổi với | s ' n | ≤ n k S A T + 1 , trong đó tất cả các chuỗi lời khuyên trước đó được bao gồm trong s ′ n .$s'_n=s'_{n-1}s_n$$\left|s'_n\right|\leq n^{k_{SAT}+1}$$s'_n$
3. Bây giờ hãy để NP / poly là một ngôn ngữ tùy ý, mà chúng ta cần hiển thị L ∈ P / poly. Tồn tại p L ≥ k L > 0 và một chuỗi các chuỗi lời khuyên l n với | l n | ≤ n k L và một thuật toán không đơn định rằng có thể quyết định L trường hợp của kích thước n trong thời gian ≤ n p L , nếu nó có quyền truy cập vào l n .$L\in$$L\in$$p_L\geq k_L>0$$l_n$$\left|l_n\right|\leq n^{k_L}$$L$$n$$\leq n^{p_L}$$l_n$
4. Đối với mỗi với | w | = N , một trường hợp SAT kích thước ≤ c ⋅ n p L có thể được tính (trong thời gian O ( n p L ) ) đó là satisfiable chính xác nếu w ∈ L .$w$$|w|=n$$\leq c\cdot n^{p_L}$$O(n^{p_L})$$w\in L$
5. Vì vậy, cho chuỗi các chuỗi lời khuyên với | t n | ≤ n k L + ( c ⋅ n p L ) k S A T , sự kết hợp của các thuật toán xác định từ 2. và 4. đưa ra một thuật toán xác định có thể quyết định các trường hợp L có kích thước n trong thời gian O ( ( c ⋅ n p L ) $t_n=l_ns_{c\cdot n^{p_L}}$$|t_n|\leq n^{k_L}+(c\cdot n^{p_L})^{k_{SAT}}$$L$$n$, nếu nó có quyền truy cập vàotn.$O((c\cdot n^{p_L})^{p_{SAT}})$$t_n$
6. Bởi vì NP / poly là một ngôn ngữ tùy ý, đây chương trình NP / poly ⊆ P / poly, theo giả định rằng NP ⊆ P / poly.$L\in$$\subseteq$$\subseteq$

Tất cả các bằng chứng trên đều tương đối hóa, bởi vì sự tồn tại của các vấn đề hoàn chỉnh NP cũng đúng trong các thế giới tương đối hóa. Điều này cho thấy rằng việc tìm kiếm bằng chứng cho thấy P / poly NP / poly là không có kết quả . Tuy nhiên, hãy tóm tắt phần động lực bị loại bỏ$\neq$từ câu hỏi như "Chuỗi lời khuyên có thể là một hệ thống tiên đề chính thức (tự động được đảm bảo là nhất quán, nụ cười xấu xa) có sức mạnh đang tăng nhanh với chiều dài đầu vào và NP cực kỳ giỏi trong việc khai thác lời khuyên này." Nếu người ta không cẩn thận rằng "sự tồn tại của một chuỗi các lời khuyên" chỉ có nghĩa "chính thức" liên quan đến một hệ thống chính thức cố định, thì thiết lập đó có khả năng cho phép xây dựng các nghịch lý rõ ràng. Nhưng việc xây dựng những nghịch lý như vậy có thể vẫn rất vui, và có lẽ họ thậm chí có thể gợi ý cách xây dựng bằng chứng độc lập (đối với các hệ thống chính thức đủ yếu).