Độ phức tạp mạch tính toán của các vấn đề quyết định

9

Có ai đã khám phá sự phức tạp mạch của các vấn đề quyết định cổ điển như Số nguyên tố hoặc Đồ thị đẳng hình cho kích thước đầu vào không? $N$

Trong khi hầu hết mọi người đang quan tâm đến những cách thức mở rộng quy mô diễn ra như , tôi nghĩ rằng nó cũng sẽ rất thú vị để xem cách này phát triển cho nhỏ N. Chắc chắn, bây giờ chúng ta biết Primes là trong P, nhưng nó sẽ là gọn gàng để xem cách nó phát triển và thậm chí có thể thay đổi mạnh về tốc độ tăng trưởng của biểu đồ khi các đầu vào đủ lớn để một thuật toán khác trở nên hiệu quả hơn. $N \to \infty$

Thậm chí có khả năng (không có khả năng) rằng ai đó có thể trích xuất từ một chuỗi các thuật toán chung.

Nó có vẻ như phương pháp này có thể trả lời khác nhau câu hỏi hơn thường được hỏi về . Với những tiến bộ về kiến thức thuật toán (bộ giải SAT, v.v.) và sức mạnh siêu tính toán, câu trả lời cụ thể có thể thu được cho nhỏ . $N \to \infty$ $N$

Có bất kỳ tài liệu tham khảo hoặc danh sách kết quả cho những người rõ ràng tính phức tạp mạch của các vấn đề quyết định cho nhỏ không? $N$

Nếu có những người làm việc về vấn đề này, hiện tại họ đang sử dụng thuật toán nào để giải quyết vấn đề mạch tối thiểu (được cung cấp một hàm boolean và bộ cổng, xuất ra một mạch sử dụng số lượng cổng tối thiểu cần thiết)?

cc.complexity-theory reference-request circuit-complexity

— TigerSpots
nguồn

Dường như gần như không thể tấn công từ hướng này do thậm chí không thể tính toán các mạch tối ưu cho các vấn đề rất "nhỏ". điều này về cơ bản là kết quả của sự phức tạp kolmogorov. một hướng khác có vẻ hứa hẹn / tương đương, không được biết đến nhiều hoặc được nghiên cứu nhiều, là thông qua độ phức tạp của biểu đồ cho phép nghiên cứu các vấn đề "nhỏ hơn" nhưng vẫn có ý nghĩa chính, ví dụ như về sự phân tách lớp phức tạp ... hay còn gọi là "bổ đề phóng đại" vv

— vzn 20/07/2015

7

Vâng, đây là một ý tưởng tự nhiên và mọi người đã nghĩ về nó. Nói tóm lại, vấn đề là ngay cả những người giải SAT / QBF hiện đại chỉ cho phép tìm các mạch rất nhỏ (với khoảng 10 cổng12), không nói về việc chứng minh rằng không có mạch nhỏ. Một số tài liệu tham khảo:

Ryan Williams, Áp dụng thực hành vào lý thuyết (2008):

Kiến thức của chúng tôi về độ phức tạp của mạch Boolean khá kém. <Voi> Một lý do chính đáng tại sao chúng ta không biết nhiều về sức mạnh thực sự của các mạch là chúng ta không có nhiều ví dụ về các mạch tối thiểu. Chúng tôi không biết, ví dụ, những gì một mạch tối ưu cho ngoại hình nhân ma trận Boolean như thế nào. $3 \times 3$

$3 \times 3$ $10 \times 10$ Phép nhân ma trận Boolean trông như thế nào? Họ có thường xuyên trong cấu trúc? Có khả năng các câu trả lời sẽ cung cấp cái nhìn sâu sắc có giá trị về sự phức tạp của vấn đề. Các thuật toán tốt nhất mà chúng tôi biết về việc giảm vấn đề thành phép nhân ma trận trên một vòng, sau đó được giải quyết bằng một cấu trúc đệ quy rất đều đặn (như Strassen's [Str69]). Ngay cả khi các mạch được xếp vào danh mục không thực sự tối thiểu nhưng gần với điều đó, các ví dụ cụ thể cho các đầu vào nhỏ có thể hữu ích cho các nhà lý thuyết để khai thác cảm hứng, hoặc có thể cho máy tính khai thác các mẫu thông qua các kỹ thuật học máy. Sức mạnh của các ví dụ nhỏ không thể được đánh giá thấp.

$2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$

2.5 n \leq C (M O D_{3}) \leq 3 n

$2.5n \le C(MOD_3) \le 3n$

2 n \leq C (A N D, O R, X O R) \leq 2.5 n

$2n \le C(AND,OR,XOR) \le 2.5n$

Bài tập 477 Ném481 trong Phần 7.2.2.2: Sự hài lòng của TAOCP Tập 4 của Don Knuth (2015) thảo luận về cách tìm mạch tối ưu với sự trợ giúp của người giải SAT. Từ giải pháp đến bài tập 481:

$n \le 5$ $n=6$ $a=0$ $n=6$ $a \neq 0$

— Alexander S. Kulikov
nguồn

5

Trong nhiều mô hình nonuniform - mạch Boolean, mạch đại số, cây quyết định, chương trình phân nhánh, v.v. - tính toán phức tạp chính xác dường như khó hơn đáng kể so với tính phức tạp tiệm cận. Mặc dù tôi duy trì hy vọng rằng trực giác của bạn là chính xác - rằng sự hiểu biết chính xác về sự phức tạp của các trường hợp nhỏ có thể dẫn đến hiểu biết không có triệu chứng - tôi chỉ biết một vài trường hợp đã xảy ra:

Các thuật toán và giới hạn dưới để nhân ma trận của các định dạng nhỏ. Đã có một lượng công việc khá lớn trên 2x2 ( Strassen ), 3x3 ( Laderman ) và các định dạng nhỏ khác để nhân ma trận (xem thêm Johnson-McLoughlin và Hopcroft-Kerr ). Ban đầu, chúng thường có thể được sử dụng để cải thiện tiệm cận, do cấu trúc đệ quy của phép nhân ma trận. Cuối cùng, Coppersmith-Winograd đã thay thế tất cả những thứ này trong vương quốc tiệm cận.
Giới hạn dưới kiểu GCT trên phép nhân ma trận nhỏ do Bürgisser và Ikenmeyer đã mang lại giới hạn thấp hơn không triệu chứng khi nhân ma trận. Tôi nghĩ rằng điều này ít nhất là một phần bởi vì cấu trúc lý thuyết biểu diễn tự nhiên gợi ý làm thế nào để biến một ràng buộc chính xác, thấp hơn thành một gia đình vô hạn.
(Xem câu trả lời của Alexander Kulikov để biết thêm một vài)

Bên cạnh đó, đã có một lượng công việc nhỏ nhưng không cần thiết về độ phức tạp chính xác của các vấn đề khác nhau, nhưng chủ yếu là các vấn đề dễ dàng hơn so với GraphIso hoặc Primes (ngoại trừ ví dụ cuối cùng về vĩnh viễn). Mặc dù tôi thấy công việc này thú vị và duy trì hy vọng rằng nó sẽ dẫn đến những hiểu biết lý thuyết lớn hơn, theo như tôi biết nó vẫn chưa được thực hiện.

$n$
Cũng đã có một số công việc trên các mạng phân loại độ sâu tối thiểu chính xác ( Bundala và Závodný dường như là mới nhất).
$2^k$
$per_3$

— Joshua Grochow
nguồn