Công thức chính xác cho số lượng cây bao trùm của một hình chữ nhật

10

Blog này nói về việc tạo ra "mê cung nhỏ xoắn" bằng cách sử dụng máy tính liệt kê chúng. Việc liệt kê có thể được thực hiện bằng thuật toán của Wilson để lấy UST , nhưng tôi không nhớ công thức cho bao nhiêu ở đó.

http://strangelyconsistent.org/blog/youre-in-a-space-of-twisty-little-mazes-all-alike

Về nguyên tắc Định lý Cây ma trận cho biết số lượng cây bao trùm của đồ thị bằng với định thức của ma trận Laplacian của đồ thị. Đặt là đồ thị và là ma trận kề, là ma trận độ, sau đó với eigenvalues , sau đó: $G= (E,V)$ $A$ $D$ $\Delta = D - A$ $\lambda$

k (G) = \frac{1}{n} \prod_{k = 1}^{n - 1} λ_{k}

$k(G) = \frac{1}{n} \prod_{k=1}^{n-1} \lambda_k$

Trong trường hợp hình chữ nhật cả và giá trị riêng sẽ có dạng đặc biệt đơn giản mà tôi không thể tìm thấy. $m \times n$ $A$

Công thức chính xác (và tiệm cận) cho # cây bao trùm của hình chữ nhật gì? $m \times n$

nhập mô tả hình ảnh ở đây

Đây là một ví dụ khá hay về thuật toán của Wilson đang hoạt động.

— John John
nguồn

2

Từ điển bách khoa trực tuyến về chuỗi số nguyên Các công thức chính xác trông không dễ để lấy được.

— Peter Shor

@PeterShor OEIS trích dẫn: Germain Kreweras, Complexite et Circuit Euleriens dans les sommes Tensorielles de graphes , J. Combin. Lý thuyết, B 24 (1978), 202-212. Anh ấy là đối tượng giống như chúng ta phải không?

— john mangual 11/07/2015

Chúng bao gồm rất nhiều đối tượng khác nhau, bao gồm cả mặt phẳng bậc hai , là lưới .

m \times n

$m \times n$

— Peter Shor

9

Theo https://www.cse.ust.hk/~golin/pub/ANALCO_05.pdf không có công thức dạng đóng được biết đến.

Theo http://arxiv.org/pdf/cond-mat/0004341v1.pdf số này không có triệu chứng (đối với cả và đều lớn) thành trong đó nhưng tôi không chắc chắn liệu đây là một ràng buộc nghiêm ngặt hay kết quả của lý luận dựa trên vật lý heuristic. Bài báo tương tự cũng đưa ra các công thức tiệm cận có cùng loại khi được cố định với một hằng số nhỏ và lớn. $n$ $m$

\exp (z_{s q} m n)

$\exp (z_{\mathrm{sq}}mn)$

z_{s q} = \frac{4}{π} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{i}}{(2 i + 1)^{2}} \approx 1.16624

$z_{\mathrm{sq}}=\frac{4}{\pi}\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{(2i+1)^2}\approx 1.16624$

m

$m$

n

$n$

— David Eppstein
nguồn

Có các công thức tiệm cận chính xác cho số lượng cây bao trùm trong một hình chữ nhật (và các chuỗi tổng quát hơn của các sơ đồ con được mô tả bởi các đa giác trực tuyến) được đưa ra ở đây: arxiv.org/pdf/math-ph/0011042.pdf (cụ thể, hệ quả 2 và mệnh đề 13 )

— Lorenzo Najt

Một lần nữa, đó là trong một kho vật lý toán học. Họ có chứng minh các công thức tiệm cận một cách chặt chẽ hay họ chỉ sử dụng lý luận ansatz giống như vật lý?

— David Eppstein

Nó được xuất bản trong Acta Math 185 (2000) số 2, 239-286.

— Lorenzo Najt

0

Các giá trị riêng của biểu đồ hình chữ nhật m-by-n có thể được sử dụng để thu được biểu thức cho số lượng khớp hoàn hảo trong các biểu đồ đó. Xem bài viết Wikipedia về domino nghiêng .

— Tyson Williams
nguồn

Điều này là thú vị, nhưng bạn có thể giải thích làm thế nào điều này nhấn mạnh câu hỏi? Có bất kỳ loại ánh xạ giữa kết hợp hoàn hảo và cây bao trùm trong trường hợp cụ thể này?

— Saeed