SAT 1 trong 3 vẫn duy trì NP-hard ngay cả khi mọi biến số xảy ra cả tích cực và tiêu cực?

Bài toán chuẩn 1 trong 3 SAT (hoặc XSAT hoặc X3SAT) là:
Trường hợp : một công thức CNF với mỗi mệnh đề chứa đúng 3 chữ
Câu hỏi : có một phép gán thỏa mãn chính xác 1 chữ cho mỗi mệnh đề có đúng không?

Vấn đề là NP-đầy đủ và vẫn còn khó khăn ngay cả khi không có biến nào bị phủ định. Tôi tự hỏi liệu vấn đề này trở nên dễ dàng hay vẫn còn khó khăn nếu mỗi biến được yêu cầu xảy ra ít nhất một lần tích cực và ít nhất một lần tiêu cực .

Việc giảm thông thường từ 3SAT thấy-1 trong 3 SAT là Thay thế khó một điều khoản bởi khoản , , trong đó $(x\lor y \lor z)$ $(\lnot x \lor a \lor b)$ $(y\lor b\lor c)$ $(\lnot z \lor c \lor d)$ $a,b,c,d$ là tươi cho mỗi điều khoản. Vì vậy, việc giảm này không giúp ích trong việc trả lời câu hỏi của tôi. Tôi đã gặp khó khăn khi đưa ra một tiện ích cho thấy độ cứng của biến thể này, vì nếu chính xác 1 chữ trong một mệnh đề là đúng, thì 2 chữ không đối xứng là sai. Nếu nó trở nên dễ dàng, suy nghĩ về các phân vùng của tập hợp mệnh đề có thể làm điều đó, nhưng tôi không thể thấy cách nào.

cc.complexity-theory np-hardness sat

— Petik Dominik
nguồn

Nó có thể giảm xuống còn 2 sat không?

— Joshua Herman

X_{i}

$X_i$

(X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor W) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Y) \land (X_{i} \lor {\bar{X}}_{i} \lor Z)

$(X_i\vee \overline X_i \vee W) \wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Y)\wedge (X_i\vee \overline X_i \vee Z)$

(W \lor Y \lor \bar{Z})

$(W \vee Y \vee \overline Z)$

(\bar{W} \lor Y \lor Z) \land (W \lor \bar{Y} \lor Z)

$(\overline W \lor Y\lor Z)\land(W\lor\overline Y \lor Z)$

X_{i} \lor {\bar{X}}_{i}

$X_i\lor\overline X_i$

Tôi có thể khuyến khích bạn viết ra một câu trả lời hoàn chỉnh cho câu hỏi của riêng bạn, có lẽ dựa trên ý tưởng của Neal young không? (Ngẫu nhiên, tôi không chắc tại sao điều đó là "không thỏa mãn". Giảm là giảm.)

— DW

Nếu trường hợp đặc biệt đó là trường hợp bạn thực sự quan tâm, thì có lẽ nên chỉnh sửa câu hỏi của bạn để phản ánh ràng buộc thêm đó?

— DW

Trong một bình luận, OP bày tỏ sự quan tâm đến việc giảm các trường hợp tạo ra 3 trường hợp khác nhau cho mỗi mệnh đề. Đây là một cách tiếp cận đơn giản:

Mức giảm là từ 1 trong 3 SAT với 3 biến khác nhau cho mỗi mệnh đề:

Trước hết, bao gồm tất cả các mệnh đề trong công thức đầu vào như các mệnh đề trong công thức đầu ra.
$F_1$ $F_2$ $F_3$ $(\neg F_1, F_2, F_3)$ $(F_1, \neg F_2, F_3)$ $(F_1, F_2, \neg F_3)$
$x$ $x'$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$

Hãy xác minh rằng mức giảm này thực hiện những gì chúng ta muốn. Các thuộc tính sau đây là những gì chúng ta muốn:

Mỗi mệnh đề luôn có ba biến khác nhau.
Mỗi biến xảy ra trong một số mệnh đề tích cực và trong một số mệnh đề phủ định.
Công thức đầu vào tương đương với công thức đầu ra.

$F_1$ $F_2$ $F_3$

$F_1$ $F_2$ $F_3$ $F_i$ $F_1$ $(x, x', F_1)$ $(\neg x, \neg x', F_1)$ $x' = \neg x$ $x'$ $x'$ $x$ $F_i$

— Mikhail Rudoy
nguồn