Sự phức tạp của nội địa hóa trong mạng không dây

Cho điểm khác biệt $1 ... n$ ngồi trong $\mathbb{R}^2$ . Chúng ta nói điểm $i$ và $j$ là hàng xóm nếu , nghĩa là mỗi điểm là hàng xóm với các điểm có chỉ số trong vòng , bao quanh.$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

Vấn đề là:

Đối với mỗi cặp hàng xóm, chúng tôi được cung cấp khoảng cách theo cặp của họ (và chúng tôi biết khoảng cách tương ứng với điểm nào) và chúng tôi muốn xây dựng lại khoảng cách theo cặp của tất cả các điểm. Câu hỏi của tôi là, sự phức tạp của vấn đề nội địa hóa này là gì?

Tôi không biết về thuật toán thời gian đa thức.

Điều này được thúc đẩy bởi các vấn đề trong nội địa hóa trong các mạng cảm biến , nơi các đại lý, được đặt quảng cáo, có thể giao tiếp không dây với các nước láng giềng từ điển của họ và chúng tôi muốn xây dựng lại vị trí của họ.

Tôi không biết nhiều về các vấn đề hình học / nội địa hóa, vì vậy điều này có thể dễ dàng hoặc được biết đến. Vấn đề gần nhất mà tôi biết là vấn đề Turnpike , gần đây đã được chỉ ra trên diễn đàn này bởi @Suresh Venkat.

(Tôi không có câu trả lời thực sự, nhưng điều này quá dài cho một bình luận, vì vậy dù sao thì việc đăng nó ở đây ...)

Tôi nghi ngờ rằng vấn đề là NP-hard, bằng cách giảm từ vấn đề tổng hợp tập hợp con. Một ý tưởng bằng chứng:

Giảm: nếu phần tử thứ trong thể hiện tổng con là x i , thì khoảng cách giữa các nút 2 i - 1 và 2 i là s , khoảng cách giữa 2 i - 1 và 2 i + 1 là x i , khoảng cách giữa 2 i và 2 i + 2 cũng là x i và khoảng cách giữa 2 i và 2 i + 1 là$i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$ .$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

Giả sử rằng các cạnh giữa và 2 i cho tất cả i đều thẳng đứng. Sau đó, toàn bộ biểu đồ bao gồm một chuỗi các hình chữ nhật với các đường chéo. Tuy nhiên, bạn có thể "lật" từng hình chữ nhật sao cho 2 i + 2 ở bên trái của 2 i hoặc bên phải của 2 i . Và bạn cần tìm tập hợp con đúng của các lần lật để khoảng cách giữa nút cuối cùng n = 2 k và nút 2 là "chính xác" (và khoảng cách giữa 2 k - 1 và$2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$ là chính xác và khoảng cách giữa 2 k - 1 và 2 là chính xác).$1$$2k-1$$2$

Cho đến nay rất tốt, nhưng hình chữ nhật của chúng tôi không thực sự cứng nhắc; chúng ta cũng có thể lật dọc theo đường chéo. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng nếu chúng ta chọn một giá trị khó chịu , thì có lẽ chúng ta có thể thấy rằng tất cả mọi thứ đi sai lầm khủng khiếp nếu chúng ta bao giờ lật dọc theo một đường chéo (ví dụ, tọa độ của 2 k sẽ không hợp lý)? Điều này có thể yêu cầu một số điều chỉnh trong các giá trị x i , mặc dù.$s$$2k$$x_i$

Nó thực sự là NP-hard. Xem bài viết sau để tham khảo.

Sriram V. Pemmaraju, Imran A. Pirwani: Thực hiện ảo chất lượng tốt của đồ thị bóng đơn vị. ESA 2007: 311-322

Drineas et al. đã viết bài Tái tạo ma trận khoảng cách từ thông tin khoảng cách không đầy đủ để bản địa hóa mạng cảm biến . Nhưng những gì họ đạt được có lẽ không chính xác như những gì bạn yêu cầu: họ tính toán toàn bộ bản đồ khoảng cách từ một bản đồ không hoàn chỉnh, ngay cả khi có tiếng ồn và lỗi nút.