MLTT có hiệu quả pCiC mà không cần Prop không?

Có phải lý thuyết loại Martin-Löf về cơ bản là tính toán dự đoán của các công trình quy nạp mà không có tính bắt buộc ? $\mathtt{Prop}$

Nếu chúng liên quan chặt chẽ nhưng có nhiều khác biệt hơn là , thì những khác biệt đó là gì? $\mathtt{Prop}$

type-theory calculus-of-constructions

— người sử dụng
nguồn

Trong cuốn sách của tôi, MLTT là một lý thuyết loại phụ thuộc trực giác (cũ và đã được thiết lập), trong khi tôi liên kết Tính toán công trình với trợ lý chứng minh Coq. Nhưng tôi có thể sai.

— Thomas Klimpel

MLTT sử dụng các loại danh tính để đối phó với sự bình đẳng. Điều gì sẽ là bình đẳng trong đoạn dự đoán của CiC?

— Martin Berger

@MartinBerger: CiC cũng có các loại danh tính!

— cody

Điều này giống như hỏi liệu Vương quốc Anh có phải là EU mà không có 27 quốc gia thành viên khác không :-)

— Andrej Bauer

@AndrejBauer Nếu tôi đủ dí dỏm tôi sẽ nghĩ ra một trò đùa brexit, nhưng tiếc là tôi không. :-P

— người dùng

Câu trả lời ngắn gọn là có, MLTT có thể được đánh đồng một cách hợp lý với CIC mà không cần phải bắt buộc Prop.

Vấn đề kỹ thuật chính là có hàng tá biến thể khi người ta nói về Lý thuyết loại Martin-Löf và, có lẽ đáng ngạc nhiên hơn, khi người ta nói về CIC. Ví dụ, lấy phiên bản CIC được định nghĩa trong luận án của Benjamin Werner, thậm chí không có ý nghĩa gì để loại bỏ Prop, vì người ta không có hoặc không có Setvũ trụ Type.

Các biến thể chính người ta có thể xem xét trong một trong những lý thuyết này là:

Các trường đại học : có bao nhiêu và chúng được định nghĩa như thế nào (Palmgren, On Universes in Type Theory , thảo luận về nhiều biến thể không tương đương), và liệu có đa hình vũ trụ được thừa nhận hay không .
Những loại / gia đình quy nạp nào : Agda thừa nhận các loại quy nạp-đệ quy, nhưng có nhiều biến thể trần tục hơn tùy thuộc vào mức độ "lớn" của các loại trong hàm tạo và loại bỏ được phép, xử lý tham số so với chỉ số, v.v.
Tiêm truyền của các nhà xây dựng loại . Điều này dẫn đến một hệ thống không phù hợp với EM ở Agda. Tất nhiên Epigram có một "Lý thuyết loại quan sát" cực đoan hơn, nhưng điều này có thể được coi là một cái gì đó khác nhau hoàn toàn.
Axiom K : điều này miễn phí với một số phiên bản phù hợp với mẫu phụ thuộc.
$\frac{Γ ⊢ t : {I d}_{T y p e} A B}{Γ ⊢ A = B}$ $\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$
Sự hiện diện của các loại cưỡng chế và các nguyên tắc loại bỏ liên quan.

Tất cả các biến thể trên (trừ OTT) đã được xem xét trong tài liệu và được liên kết với tên "Lý thuyết loại Martin-Löf" hoặc "Tính toán các công trình quy nạp", chủ yếu là do sự liên kết của chúng với các hệ thống Agda và Coq, tương ứng.

Vì vậy, câu trả lời dài là không có sự đồng thuận về định nghĩa chính xác của một trong hai hệ thống này là gì.

— cody
nguồn