Tại sao Odlyzko cải tiến Thuật toán của Shor làm giảm số lượng thử nghiệm xuống

Trong bài viết về thuật toán đa thức thời gian chính thức năm 1995 cho phép nhân tử hóa và logarit rời rạc trên máy tính lượng tử , Peter W. Shor đã thảo luận về một cải tiến về phần tìm kiếm thứ tự của thuật toán nhân tố của mình. Các đầu ra thuật toán tiêu chuẩn , một ước của lệnh của modulo . Thay vì kiểm tra nếu bằng cách kiểm tra xem , sự cải thiện là như sau: $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F] hoặc một ứng cử viên nên xem xét không chỉ mà cả các bội số nhỏ của nó , để xem đây có phải là thứ tự thực tế của . [... Kỹ thuật này] sẽ giảm số lượng thử nghiệm dự kiến cho khó nhất từ xuống nếu bội số đầu tiên ( của coi là [Odylzko 1995]. $r$ $r ′$ $2r ′ , 3r ′ , \dots$ $x$ $n$ $O(\log \log n)$ $O(1)$ $\log n)^{1+\epsilon}$ $r ′$

Tài liệu tham khảo về [Odylzko 1995] là một giao tiếp cá nhân của người Hồi giáo, nhưng tôi đã không có mặt khi Peter Shor và Andrew Odlyzko thảo luận về điều này ... Tôi hoàn toàn hiểu tại sao đó là một cải tiến, nhưng tôi không biết cách hiển thị số của các thử nghiệm được giảm xuống $O(1)$ . Bạn có biết bằng chứng nào về điều này?

quantum-computing nt.number-theory factoring

— Frédéric Grosshans
nguồn

Thuật toán làm gì? Về cơ bản, phải mất

r

$r$ và ngẫu nhiên

ℓ \leq r

$\ell \leq r$ và xuất ra

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$ . vì vậy nếu bạn kiểm tra tất cả các bội số nhỏ của

r^{'}

$r'$ , thì rất có khả năng

r

$r$ là một trong số này. Tại sao

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$ cho

O (1)

$O(1)$ ? Đó là lý thuyết số. Andrew Odlyzko là một nhà lý luận số, và tôi đã hỏi ý kiến anh ấy về vấn đề này, nhưng tôi đã hoàn toàn quên mất lời biện minh của mình cho vấn đề này.

— Peter Shor

Cảm ơn! Có vẻ như tôi cần phải tự mình tìm kiếm một nhà lý luận số!

— Frédéric Grosshans

Bạn có thể muốn thử MathOverflow .

— Kaveh

Tôi đang nghĩ về nó. Tôi có thể sẽ điều chỉnh lại nó theo cách lý thuyết số nhiều hơn về điều đó, nếu tôi không nhận được câu trả lời sớm. Tôi nghĩ rằng nó có thể được chia sẻ lại dưới dạng tổng của các hàm tổng.

— Frédéric Grosshans

@Kaveh: Câu hỏi liên quan trên MathOverflow , hỏi một câu hỏi lý thuyết số liên quan mà theo tôi là tương đương.

— Frédéric Grosshans