Một lớp đồ thị di truyền có thể chứa gần như tất cả, nhưng không phải tất cả, đồ thị n-đỉnh?

10

Đặt là một lớp đồ thị di truyền. (Di truyền = đóng đối với việc đồ thị con gây ra với.) Hãy biểu thị tập hợp đồ thị -vertex trong . Giả sử chứa hầu hết tất cả các đồ thị, nếu tỷ lệ của tất cả các đồ thị -vertex rơi vào tiếp cận 1, là . $Q$ $Q_n$ $n$ $Q$ $Q$ $n$ $Q_n$ $n\rightarrow\infty$

Câu hỏi: Có thể là một lớp đồ thị di truyền chứa hầu hết tất cả các đồ thị, nhưng với mỗi có ít nhất một đồ thị không có trong ? $Q$ $n$ $Q_n$

graph-theory

— Andras Farago
nguồn

10

Câu trả lời là không - đối với một cố định để là số đỉnh của đồ thị nhỏ không . Bây giờ, hãy xem xét lớn hơn nhiều so với . Đối với một đồ thị ngẫu nhiên trên đỉnh, xác suất mà đỉnh đầu tiên tạo ra chỉ phụ thuộc vào . Phân vùng đỉnh được đặt thành tách rời các tập kích thước và xem xét xác suất không có bộ nào bằng cho thấy xác suất ở có xu hướng là $Q$ $t$ $H$ $Q$ $n$ $t$ $n$ $t$ $H$ $t$ $n/t$ $t$ $H$ $Q$ $0$ $n$ tăng.

— daniello
nguồn

5

Điều này chứng tỏ mạnh mẽ hơn rằng bất kỳ lớp di truyền không cần thiết nào cũng chứa một phần của tất cả các biểu đồ thu nhỏ lại dưới dạng . Bằng cách phân vùng thành nhiều cạnh khác nhau của và sử dụng cùng một đối số, có thể củng cố điều này thành một cái gì đó giống như .

\exp - c n

$\exp -cn$

K_{n}

$K_n$

K_{t}

$K_t$

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

— David Eppstein

@Andras Farago: Không có câu trả lời nào cũng có thể được suy luận trực tiếp từ các kết quả đã biết trên phỏng đoán Erdos-Hajnal [ en.wikipedia.org/wiki/Erd%C5%91s%E2%80%93Hajnal_conjecture] . Giới hạn thu được không tốt bằng (có vẻ như bạn chỉ nhận được một phần nhỏ của .

\exp (- \exp (c \sqrt{\log n}))

$\exp(-\exp(c \sqrt{\log n}))$

— Louis Esperet

1

@David Eppstein: Tôi nghĩ chính xác là những gì bạn nhận được bằng cách áp dụng đệ quy ( lần) kết quả cổ điển sau đây. Nếu có một mặt phẳng chiếu theo thứ tự thì tập hợp cạnh của có thể được phân chia thành các bản sao tách rời của của .

\exp - c n^{2}

$\exp -cn^2$

\log \log n

$\log \log n$

q

$q$

K_{q^{2}}

$K_{q^2}$

q (q + 1)

$q(q+1)$

K_{q}

$K_q$

— Louis Esperet

10

Để thêm vào câu trả lời của Daniel, mật độ chính xác của các lớp di truyền đã được nghiên cứu rộng rãi trong tổ hợp. Đối với một lớp của các cấu trúc, lát cắt không có nhãn là tập hợp các lớp cấu trúc đẳng cấu của có đỉnh. Tốc độ (không ghi nhãn) của lớp của các cấu trúc là. Biểu thị lớp của đồ thị bằng . Câu hỏi đặt ra là liệu cho bất kỳ lớp cha truyền con nối của đồ thị . $C$ $C_n$ $C$ $n$ $C$ $|C_n|$ $G$ $\lim_{n\to \infty} |Q_n|/|G_n| = 1$ $Q$

Vì giới hạn luôn là 0 đối với di truyền , nên một câu hỏi cơ bản là chức năngchính nó hành xử. Đặt biểu thị số lượng phân vùng nguyên , trong đó . Hóa ra tốc độ không ghi nhãn "nhảy": hoặcbị giới hạn đa thức, hoặc nếu không . $Q$ $|Q_n|$ $p(n)$ $p(n) = 2^{\Theta(\sqrt{n})}$ $|Q_n|$ $|Q_n| = \Omega(p(n))$

József Balogh, Béla Bollobás, Michael Saks và Vera T. SOS, Tốc độ dán nhãn của một tài sản đồ di truyền , Tạp chí tổ hợp Theory, Series B, 99 9-19, 2009. doi: 10,1016 / j.jctb.2008.03.004 ( in sẵn )

— Salamás Salamon
nguồn