Sự phức tạp của việc tìm kiếm điểm Borsuk-Ulam

Định lý Borsuk-Ulam nói rằng với mọi hàm số lẻ liên tục từ một quả cầu n vào không gian n Euclide, có một điểm x 0 sao cho g ( x 0 ) = 0 .$g$$x_0$$g(x_0)=0$

Simmons và Su (2002) mô tả một phương pháp để tính gần đúng điểm bằng cách sử dụng bổ đề của Tucker . Tuy nhiên, không rõ độ phức tạp thời gian chạy của phương thức của họ là gì.$x_0$

Giả sử chúng ta được đưa ra một lời tiên tri cho hàm và hệ số gần đúng ϵ > 0 . Độ phức tạp thời gian chạy (là hàm của n ) của:$g$$\epsilon>0$$n$

1. Tìm một điểm như vậy | g ( x ) | < ϵ ?$x$$|g(x)|<\epsilon$
2. Tìm một điểm sao cho | x - x 0 | < Ε , khi x 0 là một điểm thỏa mãn g ( x 0 ) = 0 ?$x$$|x-x_0|<\epsilon$$x_0$$g(x_0)=0$

Papadimitriou đã chỉ ra rằng một phiên bản của vấn đề này là PPAD - hoàn thành trong bài viết giới thiệu về lớp đó, "Về sự phức tạp của đối số chẵn lẻ và các bằng chứng tồn tại không hiệu quả khác" .

Công thức của ông về vấn đề này là:

$P=(x_1,\dots,x_d)$$-n\leq x_i\leq n$$\max_{|x_i|}=n$$L_1$$f(p)$$f(p) \leq \frac{1}{Kn}$$x$$|f(x) - f( - x)| \leq \frac{1}{n^2}$

(Sidenote - nhiều lần khi bạn thấy một loại định lý điểm cố định, PPAD là một dự đoán tốt cho sự phức tạp của việc tìm kiếm nó ...)

Làm thế nào là lời tiên tri được đưa ra và chúng ta biết gì về ? Nếu nhà tiên tri là hộp đen và chúng ta chỉ biết rằng là số lẻ liên tục, thì với chúng ta có thể yêu cầu vô số câu hỏi ...$g$$g$$n=1$

Nếu nhà tiên tri được đưa ra bởi một số máy Turing, thì bạn sẽ hiểu rằng vấn đề của bạn là

1. Hoàn thành,

2. Hoàn thành PPAD,

trong đó kích thước của đầu vào là chiều dài của . Để biết phần giới thiệu, hãy xem http://homepages.inf.ed.ac.uk/kousha/dagstuhl14-etessami-tutorial-equilibrium.pdf .$\epsilon$