Số lần xuất hiện hạn chế trong SAT 1 trong 3

Có một kết quả được biết đến về mức độ phức tạp của 1 trong 3-SAT với số lần xuất hiện hạn chế không?

Tôi đã đưa ra cách giảm đáng kể sau đây với Peter Nightingale, nhưng tôi muốn trích dẫn điều gì đó nếu điều này được biết.

Đây là mẹo chúng tôi đã đưa ra. Điều này cho thấy rằng 1 trong 3-SAT giới hạn ở 3 lần xuất hiện trên mỗi biến là NP hoàn thành và #P hoàn thành (vì 1 trong 3-SAT là) , trong khi 3-SAT giới hạn ở 3 lần xuất hiện ở P

Giả sử chúng ta có nhiều hơn ba lần xuất hiện của x. Giả sử chúng ta cần 6. Sau đó, chúng tôi sẽ giới thiệu 5 biến mới x2 đến x6 tương đương với x và hai biến mới d1 và d2 được đảm bảo là sai với 6 mệnh đề mới sau đây:

x  -x2 d1
x2 -x3 d1
x3 -x4 d1
x4 -x5 d2
x5 -x6 d2
x6 -x  d2

Rõ ràng chúng ta thay thế mỗi lần xuất hiện của x sau lần đầu tiên bằng xi cho một số i. Điều đó cho ba lần xuất hiện của mỗi xi và d.

Ở trên đặt mỗi di thành false và tất cả các xi có cùng giá trị. Để thấy điều này, x phải đúng hoặc sai. Nếu nó đúng thì mệnh đề đầu tiên đặt x2 true và d1 false, và điều này sẽ truyền xuống các clasue. Nếu x là false thì mệnh đề cuối đặt x6 false và d2 false và nó truyền lên các mệnh đề. Đó rõ ràng là rất kỹ tính để bảo tồn đếm.

Theo hiểu biết của tôi, "giới hạn" hiện tại đã được giải quyết trong:

Stefan Porschen, Tatjana Schmidt, Ewald Speckenmeyer, Andreas Wotzlaw: XSAT và NAE-SAT của các lớp CNF tuyến tính. Toán ứng dụng rời rạc 167: 1-14 (2014)

Xem thêm Luận án của Schmidt: Độ phức tạp tính toán của SAT, XSAT và NAE-SAT cho các công thức CNF tuyến tính và hỗn hợp

$k$$CNF^l_+$$k$$CNF^l$$k, l \geq 3$

$3$$CNF^3$$l=3$

$CNF_+$

(Tôi hiểu đây phải là một câu trả lời muộn; tôi đang viết cho độc giả tương lai)

Có một kết quả mạnh mẽ hơn bao giờ hết trong văn học.

Sự hài lòng 1 trong 3 của Plan Planar Tích cực được chứng minh NP-đầy đủ trong Moore và Robson, Các vấn đề ốp lát cứng với Gạch đơn giản . (Họ nói 'đơn điệu' thay vì 'tích cực'. Xem ghi chú được thêm vào cuối cùng)

Kết quả được đề cập mạnh hơn kết quả trong luận án của Schmidt vì ở đây đồ thị của công thức được giới hạn là phẳng. (Điều kiện thực tế mạnh hơn: họ đưa ra một loại nhúng đặc biệt gọi là nhúng trực tràng)

$G_B$$B=(X,C)$$X\cup C$$E:= \{ x_iC_j\ :\ $$x_i$$C_j$$\}$$X$$C$

$B=(X,C)$$X$$C$$X$$G_B$$B$
$X$$C$

Lưu ý rằng mỗi mệnh đề chứa chính xác 3 biến riêng biệt và mỗi biến xuất hiện trong đúng 3 mệnh đề.

Xem luận điểm của Tippenhauer về Planar 3-SAT và các biến thể của nó (2016) để biết các biến thể sat hạn chế số lần xuất hiện biến.
Lưu ý: có một vài biến thể được phát hiện sau khi xuất bản luận án này.

Lưu ý thêm: Kết quả của Moore và Robson đã chứng minh rằng Sự hài lòng 1 trong 3 của Plan Planar là hoàn thành NP. (Nghĩa là, công thức boolean không chỉ đơn điệu, nó là Tích cực (nghĩa là không có nghĩa đen nào bị phủ định cả)). Thật không may, trong nhiều bài báo ban đầu, thuật ngữ 'đơn điệu' đã được sử dụng có nghĩa là 'tích cực'. Việc giảm bởi Moore và Robson không giới thiệu nghĩa đen bị phủ định. Mức giảm của họ là từ mức độ hài lòng 1 trong 3 của Planar 'Sự đơn giản trong giấy tờ của Laroche Sự thỏa mãn 1 trong 3 của Planar là hoàn thành NP . Tôi không thể có được bài báo này, nhưng có lẽ hầu hết Laroche cũng có nghĩa là tích cực bằng cách nói 'đơn điệu'. Ngay cả khi anh ta không có ý này, chúng ta có thể sử dụng Sự hài lòng 1 trong 3 của Planar từ Mulzer và Rote ' như vấn đề nguồn thay thế.

Xem câu trả lời này cho một câu hỏi trong cs.se