Độ phức tạp của k-clique cho siêu dữ liệu

Vấn đề kinh điển:

Cho một số được cho. Các vấn đề -clique là như sau.$k$$k$

Cho đồ thị , có tồn tại tập con của đỉnh sao cho hai đỉnh của liền kề nhau không?$G$$S$$k$$S$

Vấn đề siêu dữ liệu:

Cho số và được cho. Vấn đề -hyperclique như sau.$c$$k$$(c,k)$

Cho một siêu dữ liệu -uniform , có tồn tại một tập hợp gồm các đỉnh sao cho bất kỳ tập hợp con của các đỉnh từ tạo thành một siêu phẳng.$c$$H$$S$$k$$c$$S$

Câu hỏi:

(1) Thuật toán nổi tiếng nhất để giải -hyperclique là gì?$(c,k)$

(2) Độ phức tạp thời gian của nó là gì?

(3) Có mối liên hệ nào giữa -hyperclique và phép nhân ma trận không?$(c,k)$

Đối với tất cả những gì tôi biết, đây có thể là một vấn đề được nghiên cứu kỹ lưỡng. Bất kỳ tài liệu tham khảo điều tra vấn đề này được đánh giá rất cao.

Người ta không biết nếu có một $\varepsilon > 0$ , $c > 2$ , và $k > c$ như vậy $(c,k)$ hyperclique là trong $n^{k-\varepsilon}$ thời gian. Lưu ý rằng trường hợp của $k \leq c$ là tầm thường. Trong nhiều năm, tôi đã truyền đạt vấn đề này cho nhiều người và dạy nó trong cs266 tại Stanford, do mối liên hệ của nó với việc giải quyết $k$ -Sat. (Một số phiên vấn đề mở tại các hội thảo có thể đã ghi lại điều này.) Dưới đây là một vài điều tôi biết:

Tôi đã chứng minh vài năm trước rằng việc giải $4-cycle$ trên $n$ đồ thị nút trong $n^{2-\varepsilon}$ time ngụ ý $(3,4)$ hyperclique trong $n^{4-\varepsilon}$ time. Không được công bố nó.

CẬP NHẬT (tháng 8 năm 2019) kết quả đã nói ở trên và một số khái quát hóa hiện xuất hiện trong bài báo

Andrea Lincoln, Virginia Vassilevska Williams, R. Ryan Williams: Độ cứng chặt cho chu kỳ và đường đi ngắn nhất trong đồ thị thưa thớt . SODA 2018: 1236-1252

Nếu bạn có thể giải quyết $(3,4)$ hyperclique như được chỉ ra ở trên, thì Max-3-Sat có thể được giải quyết trong thời gian ngắn hơn $2^n$ . Tương tự, giải hyperclique $(k,k+1)$ sẽ mang lại thuật toán $k$ -Sat nhanh hơn . Vì vậy, nếu bạn tin rằng ETH mạnh thì có một giới hạn rõ ràng ở đây. Việc giảm này là sự khái quát hóa tự nhiên của việc giảm từ Max-2-Sat sang tìm tam giác ( $(2,3)$ ) từ ICALP'04 và luận án tiến sĩ của tôi.

Bạn có thể giải quyết $(c,k)$ hyperclique trong $n^k/(\log n)^{\Omega(k)}$ thời gian bằng cách khái quát hóa các giấy hiệu quả thuật toán cho bè lũ vấn đề .