kích thước mạch nhỏ nhất sử dụng cổng XOR

Giả sử chúng ta được cung cấp một tập hợp n biến boolean x_1, ..., x_n và một tập hợp các hàm y y_1 ... y_m trong đó mỗi y_i là XOR của một tập hợp con (đã cho) của các biến này. Mục tiêu là tính toán số lượng hoạt động XOR tối thiểu bạn cần thực hiện để tính toán tất cả các hàm y_1 ... y_m này.

Lưu ý rằng kết quả của thao tác XOR, giả sử x_1 XOR x_2 có thể được sử dụng để tính toán nhiều y_j nhưng được tính là một. Ngoài ra, lưu ý rằng có thể hữu ích khi tính XOR của bộ sưu tập x_i's lớn hơn nhiều (lớn hơn bất kỳ hàm y_i nào, ví dụ tính toán XOR của tất cả x_i's) để tính toán y_i's hiệu quả hơn,

Tương tự, giả sử chúng ta có ma trận nhị phân A và vectơ X và mục tiêu là tính toán vectơ Y sao cho AX = Y trong đó tất cả các hoạt động được thực hiện trong GF (2) sử dụng số lượng thao tác tối thiểu.

Ngay cả khi mỗi hàng của A có chính xác k (giả sử k = 3) là thú vị. Có ai biết về độ phức tạp (độ cứng của xấp xỉ) cho câu hỏi này không?

Mohammad Salavatiopur

Đây là NP-cứng. Xem: Joan Boyar, Philip Matthews, René Peralta. Kỹ thuật tối thiểu hóa logic với các ứng dụng cho tiền điện tử. http://link.springer.com/article/10.1007/s00145-012-9124-7

Phần giảm là từ Vertex Cover và rất đẹp.

Cho một đồ thị với, xác định ma trận là: nếu và và . Nói cách khác, cho biến chúng tôi muốn để tính tuyến tính hình thức cho tất cả .m = | E | m × ( n + 1 ) Một Một [ i , j ] = 1 j < n + 1 ( i , j ) ∈ E Một [ i , n + 1 ] = 1 n + 1 x 1 , $(\{1,\ldots,n\},E)$$m=|E|$$m \times (n+1)$$A$$A[i,j] = 1$$j < n+1$$(i,j) \in E$$A[i,n+1] = 1$$n+1$$x_1,\ldots,x_{n+1}$$m$$x_i+x_j+x_{n+1}$$(i,j) \in E$

Một suy nghĩ nhỏ cho thấy rằng có một mạch XOR cho với các cổng của quạt - trong hai tính toán biến đổi tuyến tính chỉ với các cổng , trong đó là nắp đỉnh tối ưu cho biểu đồ. (Đầu tiên tính toán cho tất cả trong trang bìa đỉnh, sử dụng hoạt động. Các hình thức tuyến tính này sau đó được tất cả các tính toán trong nhiều hoạt động.) Nó chỉ ra rằng đây cũng là mức tối thiểu kích thước mạch!$A$$A$$m+k$$k$$x_{i'} + x_{n+1}$$i'$$k$$m$

Bằng chứng là sự giảm là chính xác là không tốt. Tôi rất thích nhìn thấy một bằng chứng ngắn gọn rằng sự giảm này là chính xác.