Chứng minh giới hạn dưới bằng cách chứng minh giới hạn trên

Kết quả phức tạp mạch đột phá gần đây của Ryan Williams cung cấp một kỹ thuật bằng chứng sử dụng kết quả giới hạn trên để chứng minh giới hạn dưới phức tạp. Suresh Venkat trong câu trả lời của mình cho câu hỏi này, Có bất kỳ kết quả phản trực giác nào trong khoa học máy tính lý thuyết không? , đã cung cấp hai ví dụ về việc thiết lập giới hạn dưới bằng cách chứng minh giới hạn trên.

• Các kết quả thú vị khác để chứng minh các giới hạn dưới phức tạp thu được bằng cách chứng minh các giới hạn trên phức tạp là gì?

• Có bất kỳ phỏng đoán giới hạn trên nào có nghĩa là (hoặc ) không?$NP \not\subseteq P/poly$$P \ne NP$

Người ta có thể chuyển câu hỏi xung quanh và hỏi những gì giới hạn dưới không được chứng minh bằng cách chứng minh giới hạn trên. Hầu hết tất cả các giới hạn độ phức tạp truyền thông thấp hơn (và thuật toán phát trực tuyến giới hạn dưới và giới hạn cấu trúc dữ liệu thấp hơn dựa trên các đối số độ phức tạp truyền thông) được chứng minh bằng cách chỉ ra rằng một giao thức truyền thông có thể được chuyển thành một sơ đồ mã hóa, với độ dài của mã hóa tùy thuộc vào độ phức tạp giao tiếp của giao thức và giới hạn dưới của giao thức xuất phát từ thực tế là bạn không thể mã hóa tất cả các thông điệp n bit bằng cách sử dụng bit n-1 trở xuống.

Các giới hạn mạch thấp hơn Razborov-Smolensky hoạt động bằng cách hiển thị cách mô phỏng các mạch có độ sâu giới hạn bằng các đa thức bậc thấp.

Một vài ứng cử viên của giới hạn dưới không được chứng minh với giới hạn trên có thể là định lý phân cấp thời gian (mặc dù, để có được giới hạn chặt chẽ nhất, người ta cần một máy xử lý phổ quát hiệu quả, đó là một nhiệm vụ thuật toán không tầm thường) và bằng chứng của giới hạn AC0 thấp hơn bằng cách sử dụng bổ đề chuyển đổi (nhưng bằng chứng rõ ràng nhất về bổ đề chuyển đổi sử dụng độ phức tạp đếm / không thể nén / Kolmogorov)

Theo một cách kỳ lạ, chính định lý PCP là một ví dụ điển hình cho việc chứng minh giới hạn dưới thông qua giới hạn trên. Chiến lược ngẫu nhiên "hiệu quả" để xác minh bằng chứng sử dụng số lượng đầu dò không đổi của chứng minh và chỉ có các bit ngẫu nhiên dẫn đến giới hạn thấp hơn để xấp xỉ số mệnh đề thỏa mãn trong ví dụ 3SAT.$\log n$

Phương pháp không thể nén là một phương pháp dựa trên độ phức tạp Kolmogorov để chứng minh giới hạn dưới. Một trong những ứng dụng đầu tiên của phương pháp này là chứng minh rằng việc nhận ra các palindromes trên máy Turing bằng một băng duy nhất đòi hỏi thời gian bậc hai.

Nói một cách lỏng lẻo, ý tưởng của phương pháp này là mô tả một quy trình tìm đầu vào bằng cách sử dụng thông tin có trong khi chạy thuật toán giải quyết vấn đề chúng ta xem xét về đầu vào này. Các thủ tục tốt hơn, cao hơn là ràng buộc thấp hơn về vấn đề ban đầu.

Tất nhiên, chi tiết đầy đủ có thể được tìm thấy trong sách giáo khoa của Li và Vitanyi .

Đối với câu hỏi "giới hạn dưới thông qua giới hạn trên" mà bạn đã hỏi:

Tài liệu STOC 2010 "Cách nén giao tiếp tương tác" [BBCR10] đưa ra một định lý tổng trực tiếp được cải thiện cho độ phức tạp của giao tiếp ngẫu nhiên bằng cách chứng minh một giao thức nén được cải thiện cho giao tiếp tương tác.

Cụ thể, do hai bên tính toán một số chức năng chung của đầu vào lẫn nhau của họ (tức là một kịch bản tính toán tương tác), họ cho thấy bất kỳ giao thức giao tiếp bit và tiết lộ tôi bit thông tin mới cho các bên liên quan có thể được mô phỏng bởi một giao thức mới sử dụng ~ Ôi ( $C$$I$bit - giới hạn trên được cải thiện.$\tilde O(\sqrt{CI})$

Như một hệ quả của nén giao thức cải tiến này, họ cho thấy rằng trong trường hợp xấu nhất: Với bất kỳ chức năng rằng mất n thời gian để tính cá nhân, máy tính k bản sao của e đòi hỏi ít nhất $f$$n$$k$$f$thời gian - giới hạn dưới được cải thiện.$\sqrt{k} \cdot n$

Điều này khác với những gì bạn hỏi, nhưng vì nó có liên quan, tôi nghĩ tôi có thể đề cập đến nó.

Carter & Wegman (1977) đã đưa ra khái niệm băm phổ quát . Khái niệm này đã được sử dụng trong nhiều bài báo ( Sipser (1983) , Stockmeyer (1983) , Babai (1985) , và Goldwasser & Sipser (1986) ) để chứng minh các giới hạn gần đúng .

Điều này là cho đến năm 1987, trong đó Fortnow đã sử dụng phương pháp băm phổ quát để chứng minh các giới hạn trên gần đúng . (Trong thực tế, để cung cấp một giao thức để chứng minh các giới hạn trên gần đúng.)

Chỉnh sửa:

Đây không phải là kết quả giới hạn thấp hơn, nhưng dù sao chúng cũng có thể hữu ích:

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_2^p}=\rm{\Pi_2^p}$

$\rm{NP} \subset \rm{P/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{AM}=\rm{MA}$

$\rm{coNP} \subset \rm{NP/poly} \quad \Rightarrow \quad \rm{PH}=\rm{\Sigma_3^p}=\rm{\Pi_3^p}$

$P\ne NP$

$C$$C_{1} \wedge \dots \wedge C_{m}$

$P \ne NP$

Dưới đây là một ví dụ từ Độ phức tạp tính toán: Cách tiếp cận hiện đại của Arora và Barak (trang 128):

$EXP$$o(2^{n} /n)$$P \ne NP$