Có giảm bớt trực tiếp / tự nhiên để đếm các kết hợp hoàn hảo không lưỡng cực bằng cách sử dụng vĩnh viễn?

Đếm số lượng khớp hoàn hảo trong biểu đồ lưỡng cực có thể giảm ngay lập tức để tính toán vĩnh viễn. Do tìm thấy một kết hợp hoàn hảo trong đồ thị không có hai cực trong NP, nên tồn tại một số giảm từ đồ thị không lưỡng cực đến vĩnh viễn, nhưng nó có thể liên quan đến một cú đánh đa thức khó chịu bằng cách sử dụng phép khử của Cook thành SAT và sau đó định lý của Valiant để giảm xuống dài hạn.

Việc giảm hiệu quả và tự nhiên từ đồ thị không lưỡng cực sang ma trận trong đó sẽ hữu ích cho việc triển khai thực tế để tính các kết hợp hoàn hảo bằng cách sử dụng các thư viện hiện có, được tối ưu hóa mạnh mẽ để tính toán vĩnh viễn.$f$$G$$A = f(G)$$\operatorname{perm}(A) = \Phi(G)$

Đã cập nhật: Tôi đã thêm một tiền thưởng cho một câu trả lời bao gồm một hàm tính toán hiệu quả để đưa một đồ thị tùy ý vào một đồ thị lưỡng cực có cùng số lượng khớp hoàn hảo và không nhiều hơn các đỉnh .$G$$H$$O(n^2)$

Tôi có thể nói rằng việc giảm "đơn giản" đối với kết hợp lưỡng cực là rất khó xảy ra. Đầu tiên, nó sẽ đưa ra một thuật toán để tìm một kết hợp hoàn hảo trong biểu đồ chung bằng phương pháp Hungary. Do đó, việc giảm phải chứa tất cả sự phức tạp của thuật toán nở hoa của Edmond. Thứ hai, nó sẽ cung cấp một LP nhỏ gọn cho polytope phù hợp hoàn hảo và do đó mức giảm không phải là đối xứng (được loại trừ bởi kết quả của Yannakakis) và vốn đã rất phức tạp.

Đây rõ ràng là một nhận xét và không phải là một câu trả lời, nhưng tôi chưa có bất kỳ điểm danh tiếng nào ở đây, vì vậy xin lỗi về điều đó.

Đối với các đồ thị không cầu nối khối không lưỡng cực, có nhiều kết hợp hoàn hảo theo cấp số nhân, như Lovàsz và Plummer phỏng đoán vào những năm 70. Giấy đang chuẩn bị. Điều này có thể rất phù hợp với câu hỏi của bạn, hoặc có thể không hoàn toàn.