Liệu đồ thị vô hạn của các đường chéo có một thành phần vô hạn?

Giả sử chúng ta kết nối các điểm của bằng cách sử dụng tập hợp các cạnh vô hướng sao cho được kết nối với hoặc được kết nối với , độc lập và thống nhất ngẫu nhiên cho tất cả .$V = \mathbb{Z}^2$$E$$(i, j)$$(i + 1, j + 1)$$(i + 1, j)$$(i, j + 1)$$i, j$

(Lấy cảm hứng từ tiêu đề và bìa của cuốn sách này .)

Xác suất mà biểu đồ này có một thành phần kết nối lớn vô hạn là gì? Tương tự, hãy xem xét , phần bù của mặt phẳng nhúng của đồ thị. Xác suất mà bổ sung có một thành phần kết nối vô hạn là gì?$\mathbb{R}^2 \setminus G$

Rõ ràng, nếu tất cả các đường chéo chỉ cùng một cách, cả biểu đồ và phần bù của nó đều có một thành phần vô hạn. Làm thế nào về một biểu đồ ngẫu nhiên thống nhất của các loại trên?

Xác suất là 0.

Điều này tuân theo định lý sau (xem Định lý 5.33 trong Xác suất trên đồ thị của Grimmett, http://www.statslab.cam.ac.uk/~grg/books/USpgs-rev3.pdf ):

Định lý Xem xét sự thẩm thấu liên kết trên , trong đó mỗi cạnh giữa các điểm mạng được mở với xác suất $\mathbb Z^2$ . Xác suất gốc tọa độ trong một thành phần được kết nối vô hạn là 0.$\frac12$

Chúng ta có thể giảm từ vấn đề của mình sang vấn đề này: về cơ bản, đó chỉ là 2 bản sao tách rời (nhưng phụ thuộc) của sự thẩm thấu trái phiếu trên . Hãy xem xét cấu hình trong đó các cạnh tạo thành một mạng kim cương vô hạn chứa nguồn gốc. Nếu chúng ta lật tất cả các cạnh, chúng ta sẽ nhận được một mạng kim cương vô hạn khác . Hãy xem xét giao điểm của cấu hình thực tế với và với . Mỗi trong số này là chính xác mô hình thấm trái phiếu trên , chỉ cần xoay 45 ∘ . Do đó xác suất mà bất kỳ điểm nào nằm trong cụm vô hạn là 0 (Không có cạnh nào trong D 1 có thể được kết nối với một cạnh trong DD 1 D 2 D 1 D 2 Z$\mathbb Z^2$$D_1$$D_2$$D_1$$D_2$$\mathbb Z^2$$45^{\circ}$$D_1$ ).$D_2$

Để kết luận, lưu ý rằng tổng của một số sự kiện có thể đếm được với xác suất 0 có xác suất 0; tổng trên xác suất rằng bất kỳ điểm mạng nào nằm trong một cụm vô hạn.

(Sự tồn tại của các thành phần lớn tùy ý là cá trích đỏ. Người ta phải sửa một điểm và hỏi xem nó có trong thành phần không bị ràng buộc không.)

Hmm, tốt, đây là một nỗ lực đầu tiên. Hãy quan sát hai điều quan trọng:

1. Nếu biểu đồ này có một thành phần được kết nối vô cùng lớn, bởi bổ đề vô hạn của König, nó có một đường dẫn đơn giản vô hạn.
2. Sự kiện mà đồ thị có một đường dẫn đơn giản vô hạn là độc lập với mỗi lựa chọn định hướng cạnh riêng lẻ (và do đó, mọi tập hợp hữu hạn của các lựa chọn cạnh). Do đó, đây là một sự kiện đuôi và theo luật không một của Kolmogorov, xác suất là 0 hoặc 1.

Vì vậy, nó là số không hay một? Không rõ ràng ngay lập tức, mặc dù chúng ta có thể đoán, vì theo định lý "khỉ vô hạn với máy đánh chữ", biểu đồ này chứa các đường dẫn đơn giản có độ dài lớn tùy ý với xác suất. Tất nhiên, cần nhiều hơn nữa để chứng minh một cách chặt chẽ rằng nó thực sự có một con đường vô tận với xác suất một.

Đây là một số bằng chứng thực nghiệm yếu cho thấy câu trả lời là có. Đặt là một đồ thị ngẫu nhiên trên mạng 2 n + 1 × 2 n + 1 được xác định bằng cách chọn ngẫu nhiên mỗi đường chéo. Đây là một biểu đồ ước tính xác suất khả năng tiếp cận so với n (bỏ qua các đỉnh luôn không thể truy cập được do tính chẵn lẻ).$G_n$$2n+1 \times 2n+1$$n$

Nếu chúng ta thay đổi bình phương thành , xác suất dường như hội tụ thành một hàm trơn không phụ thuộc vào tỷ lệ, điều đó có nghĩa còn hơn thế nữa: xác suất xuất xứ đạt tới vô cùng là dương.$[0,1]^2$

Tuy nhiên, cũng có thể là tôi đã không tính toán đủ xa để thấy xu hướng giảm ( lô có vẻ nhỏ hơn một chút so với các xu hướng khác).$n = 800$

Mã tại đây: https://gist.github.com/girving/16a0ffa1f0abb08934c2

Cập nhật: Như đã chỉ ra trong các bình luận, bổ đề không bao hàm đường dẫn vô hạn sau tất cả, vì vậy câu trả lời này nói chung là sai. Không chắc chắn nếu nó có thể được sử dụng theo một cách xác suất khác.

Câu trả lời là có: một con đường vô tận tồn tại. Thật vậy, một con đường vô tận tồn tại cho mọi đồ thị như vậy; xác suất là không cần thiết.

Bổ đề: Hãy được bất kỳ biểu đồ đường chéo trên n × n lưới, với n ≥ 2 . Sau đó, có một đường dẫn từ trái sang phải qua các đỉnh chẵn lẻ hoặc một đường dẫn từ đỉnh xuống đáy thông qua các đỉnh chẵn lẻ.$G$$n \times n$$n \ge 2$

Bằng chứng phác thảo: Đây thực chất là định lý xác định trong Hex trên một biểu đồ khác. Các nửa chẵn lẻ và chẵn của là kép cục bộ, do đó, một vật cản trong một chẵn lẻ là một kết nối ở nhau. Tuy nhiên, tôi sẽ bỏ qua các chi tiết vì chúng khó viết ra mà không có hình ảnh và / hoặc phân tích trường hợp.$G$

Nếu bổ đề là đúng, phiên bản vô hạn theo sau từ König như Joe đã lưu ý. ( Cập nhật: Sai, xem bình luận)