Vấn đề phức tạp trong giao tiếp với khoảng cách tuyến tính

Có bất kỳ giới hạn giao tiếp ngẫu nhiên nào (không tầm thường) đã biết về các giới hạn khoảng cách tự nhiên trong đó các đầu vào 1 nằm cách xa tuyến tính 0 đầu vào không? Đó là, các chức năng phần như vậy mà khoảng cách Hamming giữa mỗi ( x , y ) ∈ f - 1 ( 1 ) và ( x ' , y ' ) ∈ f - 1$f:\{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$$(x,y) \in f^{-1}(1)$ là tuyến tính - và$(x',y') \in f^{-1}(0)$$f$ yêu cầu các giao thức ngẫu nhiên để giao tiếp (nói) bit?$\Omega(\sqrt{n})$

(Ví dụ, vấn đề Gap-Hamming-Khỏang cách có khoảng cách, trong khi tôi đang tìmkhoảng cáchΩ(n); nơiGHD(x,y)=1nếuHD(x,y)≥n/2+$2\sqrt{n}$$\Omega(n)$$GHD(x,y) = 1$ vàGHD(x,y)=1nếuHD(x,y)≤n$HD(x,y) \ge n/2 + \sqrt{n}$$GHD(x,y) = 1$ .)$HD(x,y) \le n/2 - \sqrt{n}$

Biên tập : Như được chỉ ra bởi Igor, bất kỳ vị từ phức tạp giao tiếp nào cũng có thể trở thành vấn đề với khoảng cách tuyến tính bằng cách yêu cầu các đầu vào được mã hóa bằng một mã tốt. Điều khiến tôi quan tâm là liệu có tồn tại vấn đề trong tài liệu hay không, trong đó khoảng cách tuyến tính xảy ra theo cách tự nhiên (như khoảng cách trong vấn đề Gap-Hamming-Khoảng cách).

Đặt là mã sửa lỗi với khoảng cách tuyến tính. Hãy g : { 0 , 1 } n × { 0 , 1 } n → { 0 , 1 } là một hàm có độ phức tạp truyền thông ngẫu nhiên lớn (chẳng hạn, Ω ( $C:\{0,1\}^{n} \to \{0,1\}^{2n}$$g: \{0,1\}^{n} \times \{0,1\}^{n} \to \{0,1\}$hoặcΩ(n)).$\Omega(\sqrt{n})$$\Omega(n))$

Xác định là chức năng phần đó vào từ mã của C đầu ra f ( x , y ) = g ( C - 1 ( x ) , C - 1 ( y ) ) , và nó kết quả đầu ra $f: \{0,1\}^{2n} \times \{0,1\}^{2n} \to \{0,1,*\}$$C$$f(x,y) = g(C^{-1}(x),C^{-1}(y))$$*$ nếu ít nhất một trong số không ở$x,y$$C$ .

Rõ ràng, độ phức tạp giao tiếp của bằng độ phức tạp giao tiếp của g và f thỏa mãn tính chất mà cứ hai đầu vào khác nhau mà f xuất ra 0 hoặc 1, khoảng cách giữa chúng là tuyến tính.$f$$g$$f$$f$

Như đã đề cập trong một nhận xét ở trên, Bài toán kết hợp ẩn Boolean được giới thiệu và nghiên cứu trong [BJK04, KR06] dường như (gần như) đáp ứng yêu cầu của bạn. Kích thước đầu vào là khoảng (vì đầu vào có dạng ( x , M , w ) ∈ { 0 , 1 } 2 n × { 0 , 1 } n × 2 n × { 0 , 1 } 2 n , Trong đó M là một ma trận rất thưa thớt có thể được mã hóa bằng$n\log n$$(x,M,w)\in\{0,1\}^{2n}\times\{0,1\}^{n\times 2n}\times \{0,1\}^{2n}$$M$$n\log n$ bit); và - và không -instances của vấn đề hứa hẹn có khoảng cách Θ ( n ) ,$\textsf{yes}$$\textsf{no}$$\Theta(n)$

Các một chiều ngẫu nhiên phức tạp liên lạc của là Ω ( $\textsf{BHM}_n$, như thể hiện trong [KR06].$\Omega(\sqrt{n})$

• [BJK04] Ziv Bar-Yossef, TS Jayram, Iordanis Kerenidis. Sự phân tách theo cấp số nhân của độ phức tạp giao tiếp một chiều và cổ điển, Kỷ yếu của ACM STOC 2004
• [KR06] Iordanis Kerenidis, Ran Raz. Độ phức tạp giao tiếp một chiều của Bài toán kết hợp ẩn Boolean. Colloquium điện tử về độ phức tạp tính toán (ECCC) 13 (087) (2006)