Hoàn thành theo giảm Karp tiêm

Karp giảm là thời gian đa thức tính toán nhiều - một giảm giữa hai vấn đề tính toán. Nhiều giảm Karp thực sự là một chức năng. Điều này đặt ra câu hỏi liệu mỗi lần giảm Karp là tiêm (chức năng một người).

Có một vấn đề -complete tự nhiên được biết là chỉ hoàn thành dưới nhiều lần giảm Karp và không được biết là hoàn thành theo giảm Karp tiêm? Chúng ta sẽ được gì (và mất) nếu chúng ta xác định tính đồng bộ bằng cách sử dụng giảm Karp tiêm?$NP$$NP$

Một lợi ích rõ ràng là các bộ thưa thớt không thể hoàn thành dưới sự giảm Karp tiêm.

Dưới đây là câu trả lời cho một trường hợp đặc biệt, khi chúng ta giới hạn bản thân trong trường hợp khi việc giảm Karp cũng có thể được thực hiện tăng chiều dài , cùng với việc khiến nó bị tiêm. (Tăng chiều dài có nghĩa là , trong đó là hàm đại diện cho mức giảm.)$|f(x)|>|x|$$f$

Yêu cầu: Nếu mọi mức giảm Karp trong có thể được chuyển đổi thành một dạng tiêm và tăng chiều dài, thì giữ.$NP$$P\neq NP$

Bằng chứng. Chúng ta hãy giả sử rằng mọi mức giảm Karp trong có thể được chuyển thành một dạng tiêm và tăng chiều dài. Sau đó, có hai khả năng:$NP$

1. Tất cả các mức giảm này không chỉ tính toán được trong thời gian đa thức, mà nghịch đảo của từng hàm, tồn tại sau khi thực hiện hàm tiêm, cũng có thể tính toán được trong thời gian đa thức. Người ta biết rằng nếu hai ngôn ngữ đều có thể giảm lẫn nhau bằng các mức giảm là tính toán đa thời gian, khả năng đảo ngược đa thời gian và tăng chiều dài, thì chúng là đa hình đẳng thời (xem Định lý 7.4 trong cuốn sách "Lý thuyết về độ phức tạp tính toán" của Đinh-Zhu Du và Ker-I Ko). Điều này có nghĩa rằng tất cả hoàn chỉnh ngôn ngữ là p -isomorphic, nghĩa là đẳng cấu Conjecture nắm giữ, được biết để ngụ ý P ≠ N P .$NP$$p$$P\neq NP$

2. Có ít nhất một trong số các hàm này, trong đó nghịch đảo không thể tính toán được trong thời gian đa thức. Hàm này sẽ cung cấp một ví dụ về hàm một chiều trong trường hợp xấu nhất. Được biết, tuy nhiên, sự tồn tại của trường hợp xấu nhất các chức năng một chiều cũng ngụ ý . (Xem Định lý 2.5 trong cuốn sách "Người đồng hành lý thuyết phức tạp" của Hemaspaandra và Ogihara.)$P\neq NP$

Do đó, giả định rằng mọi mức giảm Karp đều có thể được thực hiện bằng tiêm và tăng chiều dài ngụ ý , do đó rất khó để chứng minh. Mặt khác, có thể dễ dàng bác bỏ hơn vì điều đó dường như không có hậu quả kịch tính như vậy. Nó cũng không rõ ràng, điều gì xảy ra nếu chúng ta bỏ giả định tăng chiều dài.$P\neq NP$

$\mathsf{NP}$$\mathsf{NP}$

Trên thực tế, ngay cả các mẫu đối lập "không tự nhiên" tiềm năng đối với Giả thuyết đẳng cấu - bộ sáng tạo k của Định lý Joseph và Young 2.2 - hoàn thành theo cách giảm một lần bằng cách xây dựng.

[Lặp đi lặp lại từ nhận xét của tôi ở đây :] Vì hầu hết các mức giảm một mà chúng tôi xây dựng thực tế là giảm một lần, tại sao chúng tôi không nghiên cứu chúng khi chúng chính thức mạnh hơn và chúng tôi có được chúng hầu hết mọi lúc? Tôi nghĩ bởi vì đơn giản hơn là không phải bận tâm đến việc chứng minh sự tiêm nhiễm, mặc dù chúng ta thường có nó. Theo nghĩa đó, có thể nhiều mức giảm là một trong số các "mức giảm Goldilocks:" chỉ là sức mạnh đúng, chỉ là sự đơn giản của bằng chứng.

Trên thực tế, giảm tiêm là hữu ích trong mật mã. Giả sử bạn có hệ thống chứng minh ZK cho mối quan hệ NP R qua ngôn ngữ L. Nếu bạn muốn xây dựng bằng chứng ZK cho mối quan hệ NP khác R 'qua ngôn ngữ L', bạn phải tìm hai hàm f và g với các thuộc tính sau : 1. x thuộc về L 'iff f (x) thuộc về L, 2. Nếu (x, w) thuộc về R' thì (f (x), g (x, w)) thuộc về R. 3. Hơn nữa , f và g phải được tính toán hiệu quả.

Các thuộc tính trên ngụ ý rằng nếu hệ thống chứng minh cho R hoàn chỉnh và âm thanh, thì hệ thống chứng minh cho R '(được xác định theo cách rõ ràng sử dụng các chức năng trên để giảm các trường hợp liên quan đến mối quan hệ khác) cũng hoàn chỉnh và đúng đắn.

Điều gì về việc chứng minh rằng hệ thống mới cũng là ZK hoặc nhân chứng không thể phân biệt (WI)? Nếu f không thể đảo ngược, bạn có thể chứng minh rằng hệ thống chứng minh thu được là ZK. Mặt khác, để chứng minh rằng bạn phải giả sử rằng hệ thống chứng minh cho R là ZK đầu vào phụ (chứ không chỉ là ZK). Đối với WI, nếu f không thể đảo ngược, bạn có thể chứng minh rằng hệ thống chứng minh cho R 'là WI. Không có thực tế là f là không thể đảo ngược, tôi không chắc liệu bạn có thể chứng minh rằng