NP vs co-NP và logic thứ hai

Giả sử rằng NP = co-NP và đa thức giới hạn độ dài của bằng chứng về sự không thỏa mãn đối với trường hợp 3-CNF x . Sau đó, có bất kỳ kết quả nào về hình thức bất kỳ bằng chứng nào về sự không thỏa mãn đối với x độ dài ≤ p ( x ) có thể mất không? Ví dụ, nói chung, một bằng chứng như vậy sẽ phải sử dụng toàn bộ sức mạnh của logic bậc hai trên các cấu trúc vô hạn (tôi biết rằng mệnh đề để chứng minh - rằng một công thức không thỏa mãn có thể được biểu thị theo logic bậc hai cấu trúc hữu hạn nhưng các bước trung gian trong bằng chứng để có được điều đó có thể đòi hỏi lý luận về cấu trúc vô hạn).$p(x)$$x$$x$$\leq p(x)$

Vì không có hiệu quả đầy đủ và hệ thống âm thanh của suy luận cho logic thứ hai theo đơn đặt hàng, thì sẽ có thể sử dụng kết quả như vậy để chứng minh NP đồng NP?$\neq$

Nếu có một pps tối ưu (pps = hệ thống chứng minh mệnh đề , một pps tối ưu là một pps có thể mô phỏng bất kỳ hệ thống chứng minh nào khác) thì pps EF (Extended Frege) được tăng cường với các tiên đề đề xuất cho thấy tính đúng đắn của hệ thống chứng minh mệnh đề tối ưu sẽ là tối ưu. Nói chung, EF + Độ âm thanh của pps P có thể mô phỏng P cho bất kỳ P. Vì vậy, EF có một loại tổng quát mà bạn không cần thay đổi logic hoặc cấu trúc pps cơ bản, nhưng chỉ cần thêm các tiên đề mệnh đề vào nó để có được bất kỳ pps mạnh tùy ý.

$NP = coNP$

$\pi$$\varphi$$\varphi$

Trong summery, không cần phải đi ra ngoài logic mệnh đề.

$NP=coNP$$NP$$coNP$