Giấy tờ để ghi có cho phân vùng phổ của đồ thị

Nếu là đồ thị không đều d không định hướng và S là tập con của các đỉnh của cardinality ≤ | V | / 2 , gọi phần mở rộng cạnh của S là số lượng$G=(V,E)$$d$$S$$\leq |V|/2$$S$

$\phi(S) := \frac {Edges(S,V-S)}{d\cdot |S|\cdot |V-S|}$

Trong trường hợp là số cạnh với một thiết bị đầu cuối trong một và một thiết bị đầu cuối trong B . Sau đó, vấn đề mở rộng Edge là tìm một tập S với | S | ≤ | V | / 2 giảm thiểu φ ( S ) . Gọi φ ( G ) mở rộng của một tập tối ưu.$Edges(A,B)$$A$$B$$S$$|S|\leq |V|/2$$\phi(S)$$\phi(G)$

Các quang phổ Phân vùng Algorithm cho vấn đề cạnh mở rộng hoạt động bằng cách tìm một eigenvector của eigenvalue lớn thứ hai của A , ma trận kề của G , và sau đó xem xét tất cả các '' bộ ngưỡng '' S có dạng { v : x ( v ) ≤ t } trên tất cả các ngưỡng t . Nếu chúng ta đặt λ 2 là giá trị riêng lớn thứ hai của ma trận $x$$A$$G$$S$$\{ v : x(v) \leq t \}$$t$$\lambda_2$, sau đó phân tích Thuật toán phân vùng quang phổ cho thấy ngưỡngSSPtốt nhấtđược tìm thấy bởi thuật toán thỏa mãn$\frac 1d \cdot A$$S_{SP}$

$\phi(S_{SP}) \leq 2\sqrt {\phi(G)}$

Theo sau bất bình đẳng của Cheeger

$\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

và

$1-\lambda_2 \leq 2 \phi(G)$

Giấy đầu tiên để đưa ra yêu cầu như vậy là gì? Những giấy tờ để tín dụng cho các ý tưởng? Đây là những gì tôi đã có:

• N. Alon và VD Milman. , bất bình đẳng isoperimetric cho đồ thị, và superconcentrators, Tạp chí tổ hợp Theory, Series B, 1985, 38 (1): 73-88 $\lambda_1$

  Chứng minh một kết quả theo tinh thần của "đơn giản" Cheeger bất bình đẳng , nhưng đối với đỉnh mở rộng thay vì mở rộng cạnh. Nhận ra rằng mối quan hệ giữa mở rộng cạnh và giá trị riêng là phiên bản riêng biệt của một vấn đề được nghiên cứu bởi Cheeger trong $1-\lambda_2 \leq 2\phi(G)$

  J. Cheeger. Một giới hạn thấp hơn cho giá trị riêng nhỏ nhất của Laplacian. Các vấn đề trong phân tích, 1970.

• N. Alon. Eigenvalues ​​và mở rộng. Kết hợp. 6 (2): 83-96, 1986.

  Chứng minh một kết quả theo tinh thần khó khăn Cheeger bất bình đẳng nhưng đối với việc mở rộng đỉnh thay vì mở rộng cạnh. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda_2)}$

• A. Trân trọng, M. Jerrum. Đếm gần đúng, tạo đồng đều và trộn chuỗi Markov nhanh chóng. Thông tin và tính toán 82: 93-133, 1989 (Phiên bản hội nghị 1987)

  Chứng minh bất đẳng thức Cheeger như đã nêu ở trên. . Họ cũng ghi nhận Aldous cho một ràng buộc liên quan giữa thời gian trộn và mở rộng cạnh trong các biểu đồ thông thường.

• M Mihail. Độ dẫn điện và sự hội tụ của chuỗi Markov - một phương pháp điều trị kết hợp của các chất giãn nở. FOCS 1989, trang 526-531

  Mặc dù điểm chính của bài báo là các kỹ thuật của nó áp dụng cho các chuỗi Markov không thể đảo ngược thời gian, khi nó được áp dụng cho các đồ thị vô hướng thông thường, nó có một lợi thế so với công việc trước đó: nó cho thấy rằng nếu một người chạy thuật toán phân vùng phổ với một tùy ý vector, ta vẫn có được sự bất bình đẳng nơiλ'là thương Rayleigh của vector. Các đối số của Alon, Milman, Sinclair và Jerrum đòi hỏi một người bản địa thực sự. Điều này có liên quan đến các thuật toán phân vùng phổ nhanh sử dụng các hàm riêng gần đúng. $\phi(S_{SP}) \leq \sqrt{2\cdot (1-\lambda')}$$\lambda'$

Khi nào thì ý nghĩa thuật toán của các kết quả trên, như các thuật toán phân vùng đồ thị, lần đầu tiên được nhận ra? Các giấy tờ trên không có thảo luận như vậy.

$\lambda_2$$\lambda_2$

Thật thú vị, có một nhận xét ở cuối bài báo của Fiedler, chỉ ra một báo cáo kỹ thuật độc lập của Anderson và Morley có tựa đề Eigenvalues ​​of the Laplacian trên đồ thị từ năm 1971, có vẻ như cũng có ý tưởng tương tự. Tuy nhiên, bài báo của Anderson và Morley có cùng tiêu đề đã xuất hiện trong Đại số tuyến tính và đa tuyến chỉ vào năm 1985.

Một số tài liệu tham khảo bổ sung mà tôi nhớ về thời đại đó:

1) Diaconis và Stroock, giới hạn hình học cho giá trị bản địa của chuỗi Markov, Biên niên sử về xác suất ứng dụng, 1991; nhưng tôi nhớ đã có được một bản in trước vào năm 1990. Bài báo này lần lượt đề cập đến

2) Dodziuk, phương trình sai phân, bất đẳng thức đẳng tích và tính nhất thời của các bước đi ngẫu nhiên nhất định, Giao dịch của Hiệp hội toán học Hoa Kỳ, 1984.

Ngoài ra, một bài báo "đồng hành thuật toán" quan trọng với Sinclair và Jerrum tại thời điểm đó là

3) Dyer Frieze Kannan, Thuật toán thời gian đa thức ngẫu nhiên để tính gần đúng khối lượng của các cơ thể lồi, STOC 89. Tất nhiên, kết quả ở đây được xây dựng trên đầu SJ.