Các lớp học phức tạp để chứng minh kiến ​​thức

Được thúc đẩy bởi một câu hỏi Greg Kuperberg đã hỏi tôi, tôi tự hỏi liệu có bất kỳ bài viết nào xác định và nghiên cứu các lớp ngôn ngữ phức tạp thừa nhận các loại bằng chứng kiến ​​thức khác nhau . Các lớp như SZK và NISZK cực kỳ tự nhiên từ quan điểm phức tạp, ngay cả khi chúng ta quên hoàn toàn kiến ​​thức bằng không và chỉ định nghĩa chúng theo các vấn đề hứa hẹn hoàn chỉnh của chúng. Ngược lại, trên 'bằng chứng kiến ​​thức', tôi ngạc nhiên khi không tìm thấy bất kỳ bài báo hay bài giảng nào thảo luận về khái niệm đáng yêu này về các lớp học phức tạp.

Để đưa ra một số ví dụ: người ta có thể nói gì về lớp con của SZK∩MA∩coMA bao gồm tất cả các ngôn ngữ L thừa nhận bằng chứng không có kiến ​​thức thống kê cho x∈L hoặc x∉L, đó cũng là bằng chứng về kiến ​​thức của một nhân chứng chứng minh x L hay x∉L? Chắc chắn lớp này chứa những thứ như nhật ký rời rạc, nhưng chúng tôi không thể chứng minh rằng nó chứa biểu đồ đẳng cấu mà không đưa GI vào coMA. Lớp học có bao gồm tất cả các SZK∩MA∩coMA không? Người ta cũng có thể hỏi: nếu các hàm một chiều tồn tại, thì mọi ngôn ngữ L∈MA∩coMA đều thừa nhận bằng chứng không có kiến ​​thức tính toán, đó cũng là bằng chứng về kiến ​​thức của một nhân chứng chứng minh x∈L hoặc x∉L? (Tôi xin lỗi nếu một hoặc cả hai điều này có câu trả lời tầm thường --- Tôi chỉ đang cố gắng minh họa loại điều mà người ta có thể hỏi, một khi người ta quyết định xem xét PoK theo thuật ngữ phức tạp-lý thuyết.)

Đây không phải là một câu trả lời thực tế; Tôi chỉ chia sẻ một số kết quả (không phù hợp với một nhận xét).

1. Goldreich, Micali và Wigderson ( J. ACM, 1991 ) đã chứng minh rằng mọi ngôn ngữ trong NP đều có bằng chứng không có kiến ​​thức về tư cách thành viên ngôn ngữ (giả sử tồn tại OWF). Cuối cùng, họ đã đưa ra một bằng chứng ZK cho biểu đồ 3 màu. Sau đó, Bellare và Goldreich ( CRYPTO '92 ) đã chứng minh rằng bằng chứng ZK này cũng là bằng chứng kiến ​​thức ZK (PoK). Sử dụng các mức giảm Levin (xem chú thích 12 của bài báo cũ), mọi ngôn ngữ trong NP đều có ZK PoK (giả sử OWF tồn tại).
2. Itoh và Sakurai ( ASIACRYPT '91 ) có một bài viết về các kết quả lý thuyết phức tạp liên quan đến các mối quan hệ có ZK PoK không đổi.
3. Đây là một kết quả dường như không liên quan, mặc dù tôi không thể không nhận thấy một số điểm tương đồng. Tôi bằng cách nào đó cảm thấy (không phải bất cứ điều gì chính thức) rằng bằng chứng về tư cách thành viên so với bằng chứng về kiến ​​thức tương tự như quyết định so với tìm kiếm . Có lẽ theo nghĩa này, người ta cũng có thể trích dẫn công việc của Bellare và Goldwasser ( J. Computing, 1994 ), trong đó họ (có điều kiện) chứng minh rằng không phải tất cả các ngôn ngữ trong NP đều giảm từ tìm kiếm sang quyết định.

Một số vấn đề mở (có lẽ đã được giải quyết, nhưng tôi không biết) về các khía cạnh lý thuyết phức tạp của PoKs:

1. Các biện pháp hiệu quả khác nhau cho ZK PoK có mối quan hệ cụ thể với độ phức tạp nhất định (ví dụ: mối quan hệ trong AM):

   • Sự phức tạp trong giao tiếp của bằng chứng
   • Độ phức tạp tính toán của các bên
   • Độ chặt của kiến ​​thức (nghĩa là tỷ lệ giữa thời gian chạy (dự kiến) của trình giả lập và thời gian chạy của trình xác minh trong tương tác thực)

2. Sự phức tạp của các mối quan hệ thừa nhận ZK PoK với những hạn chế nhất định, nói rằng độ phức tạp vòng hạn chế (Itoh và Sakurai chỉ xem xét ZK PoK không đổi vòng). Một ví dụ khác là khi người hoạt động là thời gian đa thức: Anh ta không thể sử dụng phép khử thành 3 màu, vì anh ta không thể giải quyết các mối quan hệ hoàn chỉnh NP. Tất cả các vấn đề hoàn thành NP đều giảm Cook từ tìm kiếm đến quyết định. Tuy nhiên, do kết quả của Bellare-Goldwasser được trích dẫn ở trên, việc giảm như vậy không nhất thiết tồn tại đối với tất cả các ngôn ngữ / quan hệ NP.

3. Các kết quả thú vị khác liên quan đến PoK không nhất thiết là ZK, nhưng độ phức tạp kiến ​​thức của nó lại bị hạn chế. Xem Goldreich và Petrank (Comput . Complex., 1999 ).

Trước khi kết luận, cho phép tôi đề cập rằng thực sự có một số định nghĩa cho PoK, một số định nghĩa được trích dẫn dưới đây:

1) Những nỗ lực ban đầu: Feige, Fiat và Shamir ( J. Cryptology, 1988 ), Tompa và Woll ( FOCS 1987 ), và Feige và Shamir ( STOC 1990 ).

2) Tiêu chuẩn thực tế: Bellare và Goldreich ( CRYPTO '92 ). Bài viết này khảo sát những nỗ lực ban đầu trong việc xác định PoK, quan sát những thiếu sót của họ và đề xuất một định nghĩa mới có thể được coi là "định nghĩa" của PoK. Định nghĩa này có bản chất hộp đen (trình trích xuất kiến ​​thức có quyền truy cập hộp đen vào câu tục ngữ gian lận).

3) PoK bảo thủ: Được xác định bởi Halevi và Micali ( Lưu trữ ePrint: Báo cáo 1998/015 ), định nghĩa này làm tăng định nghĩa trước đó để đảm bảo tính khả thi của người hoạt động. Nó cũng đưa ra một định nghĩa cho kiến ​​thức của một người hoạt ngôn, điều này rất tốt khi trả lời câu hỏi "có nghĩa gì khi nói rằng P biết điều gì đó?"

4) Đối số kiến ​​thức với khai thác không phải hộp đen: Như đã đề cập ở trên, định nghĩa chuẩn của PoK là hộp đen, điều này khiến cho không thể đặt lại các bằng chứng kiến ​​thức (hoặc đối số) kiến ​​thức cho các ngôn ngữ không tầm thường. Barak và cộng sự. ( FOCS 2001 ) cung cấp định nghĩa không phải hộp đen, dựa trên (nhưng khác với) định nghĩa của Feige và Shamir (STOC 1990) được trích dẫn ở trên.