Hậu quả của thuế TNCN trên

Cho sao cho các hệ số của được giới hạn bởi , giữ? $p(x_1,\dots,x_n),q(x_1,\dots,x_n)\in \Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$ $p,q$ $B$ $p\equiv q$

Bổ đề Schwartz-Zippel áp dụng ở đây vì nó giữ cho các trường chung và và có một thuật toán ngẫu nhiên hiệu quả cho vấn đề này. $\Bbb Z\subset\Bbb Q$

Chúng tôi hy vọng vấn đề này sẽ có sự khử nhiễu hiệu quả.

Hậu quả là gì nếu vấn đề này không có sự khử nhiễu hiệu quả?

big-picture derandomization conditional-results

— Salamás Salamon
nguồn

Làm thế nào là và được đưa ra?

p

$p$

q

$q$

$\;$

@RickyDemer Làm thế nào nó được đưa ra trong kiểm tra nhận dạng đa thức thông thường?

Không phải kết quả Kabanets-Impagliazzo nói rằng chúng ta KHÔNG mong đợi một sự tách rời hiệu quả?

— Suresh Venkat

Đúng. Tôi hình dung tôi sẽ đưa nó lên với đại diện tiêu chuẩn , các chuỗi khác nhau đại diện cho các yếu tố riêng biệt.

$\:$

$\hspace{1.76 in}$

$\;\;\;\;$

@SureshVenkat: Kabanets & Impagliazzo đã chứng minh một số điều, bao gồm: 1. Nếu PIT có thể bị vô hiệu hóa, NEXP không có mạch polysize (boolean) hoặc vĩnh viễn không có mạch polysize (số học); 2. Nếu vĩnh viễn yêu cầu các mạch có kích thước siêu khủng, PIT có thể bị "khử" một cách yếu ớt. Vì các kết luận của 1. thường được phỏng đoán để nắm giữ cũng như tiền đề của 2., tôi sẽ nói ngược lại với bạn rằng kết quả KI nói rằng chúng tôi mong đợi một sự khử nhiễu hiệu quả.

— Bruno

Câu trả lời:

Vì PIT nằm trong , nếu không có quá trình khử cộng hiệu quả thì (và đặc biệt, , nhưng đó là không quá ngạc nhiên, vì chúng tôi hy vọng đó là sự thật dù sao đi nữa). Tất nhiên, điều này cũng ngụ ý rằng , do đó, bất cứ điều gì ngụ ý sai. Ví dụ: các trình tạo số giả ngẫu nhiên đủ mạnh không tồn tại và sẽ có các mạch kích thước phụ! $\mathsf{coRP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{RP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{NP}$ $\mathsf{P} \neq \mathsf{BPP}$ $\mathsf{P} = \mathsf{BPP}$ $\mathsf{E} = \mathsf{DTIME}(2^{O(n)})$

— Joshua Grochow
nguồn

Vì vậy, điều này không phân biệt trường mặt đất (hệ số trong trong đó với một số giới hạn về hệ số)?

Q_{p}

$\Bbb Q_p$

p \in {2, 3, 5, 7, \dots} \cup {\infty}

$p\in\{2,3,5,7,\dots\}\cup\{\infty\}$

Thật vậy, như bạn đã chỉ ra Schwarz-Zippel-DeMillo-Lipton áp dụng trên các trường tùy ý, và tất cả những gì nó cần là ràng buộc về mức độ của đa thức (không phải kích thước của hệ số cũng như kích thước mạch). Với số lượng ngoại lệ rất nhỏ, PIT thường có nghĩa là phiên bản giới hạn mức độ (mức độ giới hạn bởi một đa thức trong số lượng biến).

— Joshua Grochow

Có thể là một điều ngớ ngẩn. Bạn đã đề cập đến sự độc lập về kích thước của các hệ số và kích thước mạch. Tôi giả định kích thước phụ thuộc vào mức độ và kích thước của coeff. Tôi có lầm không?

Kích thước mạch có thể phụ thuộc vào kích thước của coeff., Tùy thuộc vào mô hình của bạn (mô hình mà nó phụ thuộc thường được gọi là "không có hằng số"). Kích thước mạch chỉ phụ thuộc rất nhiều vào mức độ, theo nghĩa là kích thước ít nhất là nhật ký của mức độ, nhưng thực sự thuật toán coRP ra khỏi SZDL chỉ là về mức độ. Nó thậm chí không phụ thuộc vào các chức năng được cung cấp dưới dạng mạch - chỉ ở một số dạng mà chúng có thể được đánh giá dễ dàng ("hộp đen").

— Joshua Grochow

Cảm ơn bạn. Có một chút rắc rối khi việc tạo cộng đồng có thể được thực hiện mà không làm giảm hiệu quả ngay cả khi chính các hệ số có thể phức tạp về mặt xây dựng

Bạn đang tự hỏi về các vấn đề hình ảnh lớn ở đây. Một số tự nhiên có thể được biểu diễn chính tắc theo ký hiệu đơn, nhưng biểu diễn này khá không hiệu quả. Bạn cũng có thể biểu thị nó theo ký hiệu nhị phân, hiệu quả hơn về không gian, nhưng không còn hợp quy, bởi vì bạn cũng có thể sử dụng ký hiệu tenary hoặc ký hiệu thập phân. Nhưng lưu ý rằng biểu diễn bằng các mạch không hiệu quả hơn đáng kể so với ký hiệu nhị phân, xem ví dụ

101101 = (((1+1)*(1+1)+1)*(1+1)+1)*(1+1)*(1+1)+1

Và lưu ý rằng (...)*(1+1)có thể được thay thế bằng x:=(...) in x+x, vì vậy bạn thậm chí không cần nhân cho điều này. Nhưng bởi vì bạn có phép nhân, bạn thậm chí có thể biểu diễn các con số một cách hiệu quả 1011^101101. Cũng lưu ý rằng bạn có thể thêm, trừ và nhân số một cách hiệu quả trong biểu diễn này. Nhưng đại diện này không giới hạn số lượng, nó thậm chí hoạt động chính xác theo cùng một cách cho các hàm đa thức. Và đối với đa thức, nó thậm chí là một biểu diễn khá tự nhiên, bởi vì đa thức là đại số miễn phí cho các vòng giao hoán, và biểu diễn dưới dạng mạch có thể được sử dụng cho bất kỳ đại số miễn phí nào.

$c=10^{10^{10^{10^{10}}}}$ $c$ $0$ $c$ bị từ chối, bởi vì hầu hết những con số đó sẽ chứa nhiều thông tin hơn mức có thể được đại diện bởi vũ trụ vật lý. Hầu hết các bài hát chỉ khiến tôi cười, nhưng điểm này khiến tôi suy nghĩ. Các triết gia như Willard Van Orman Quine đã phản đối việc tuyên bố sự tồn tại của những người sở hữu không chính thức, trong số những người khác vì những điều đó dẫn đến các yếu tố vô trật tự mà không thể nói là giống hệt nhau và khác biệt với nhau. Vì vậy, tôi thấy khá hợp lý khi tự hỏi về các bài thuyết trình số mà người ta vẫn thực hiện phép cộng, phép trừ và phép nhân, và ít nhất là xác định một cách có ý nghĩa liệu hai số có khác biệt với nhau không. Các đại diện mạch đạt được điều này ...

Quay lại đa thức và biểu diễn mạch của đại số miễn phí. Dưới đây là một số câu hỏi hình ảnh lớn:

$n\geq 4$ $n$
Có một đại số miễn phí mà thử nghiệm nhận dạng xác định hiệu quả sẽ làm mất hiệu lực mọi phỏng đoán thường được tin tưởng, như P! = NP?
-> Có, kiểm tra danh tính cho đại số miễn phí cho các vòng giao hoán thông thường là NP-đầy đủ. Đã không nhận thấy điều này trong một thời gian dài, xem bên dưới ...
$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Tôi đặc biệt băn khoăn về đại số miễn phí cho các vòng giao hoán thông thường ở đây (tức là các vòng có hoạt động nghịch đảo tổng quát), vì chúng sẽ cho phép biểu diễn các số hữu tỷ và các hàm hữu tỷ. Lưu ý rằng nếu chúng tôi chỉ sử dụng đại diện này cho các số, thì chúng tôi có thể tự hỏi liệu chúng tôi có thể kiểm tra hiệu quả a < bcho đại diện này hay không. Câu hỏi này không có ý nghĩa đối với vòng giao hoán miễn phí, nhưng nó có thể có ý nghĩa đối với đa thức, nếu chúng ta giải thích chúng trong bối cảnh các vòng được đặt hàng một phần miễn phí. Nhưng một chiếc nhẫn được đặt hàng một phần chỉ là một cấu trúc quan hệ thay vì đại số, vì vậy đây là một loại câu hỏi khác ...

$\Bbb Z\subset\Bbb Q$

$((3^3+3)^3+x)^3-((2^2+5)^3+x)^2x$ $n$ $7^{2^{n/2}}$ $5^{3^{n/3}}$ $\mathbb Z$ $B=\exp(\exp(n))$ $O(\log B)$

$\Bbb Z[x_1,\dots,x_n]$

Mặt khác, tôi cũng tin rằng bạn chỉ có thể sử dụng bất kỳ trình tạo số giả ngẫu nhiên hợp lý nào và từ đó quyết định thuế TNCN cho tất cả các mục đích thực tế, nếu bạn chỉ kiểm tra đủ lâu. Tôi chỉ tin rằng bạn không bao giờ có thể thoát khỏi sự nghi ngờ (nhỏ vô hạn) còn lại, tương tự như các bộ số 0, vẫn gây khó chịu bằng cách không trống.

— Thomas Klimpel
nguồn

P! = N P

$P!=NP$

Tôi chỉ nghĩ về một vấn đề đại số miễn phí nhưng không phải là những gì bạn đang nghĩ đến