Nó vẫn còn mở để xác định sự phức tạp của việc tính toán treewidth của đồ thị phẳng?

Đối với hằng số , người ta có thể xác định theo thời gian tuyến tính, được đưa ra một đồ thị đầu vào , cho dù treewidth của nó là . Tuy nhiên, khi cả và được đưa ra làm đầu vào, vấn đề là NP-hard. ( Nguồn ). $k \in \mathbb{N}$ $G$ $\leq k$ $k$ $G$

Tuy nhiên, khi đồ thị đầu vào là phẳng , dường như ít được biết đến về độ phức tạp. Vấn đề rõ ràng là đã mở trong năm 2010, một yêu cầu cũng xuất hiện trong khảo sát này vào năm 2007 và trên trang Wikipedia để phân tách chi nhánh . Ngược lại, vấn đề được khẳng định là NP-hard (không có bằng chứng tham chiếu) trong phiên bản trước của khảo sát được đề cập trước đó, nhưng tôi cho rằng đây là một lỗi.

Có còn mở để xác định độ phức tạp của bài toán không, với và đồ thị phẳng , xác định có treewidth ? Nếu có, điều này đã được tuyên bố trong một bài báo gần đây? Có bất kỳ kết quả một phần được biết đến? Nếu không, ai giải quyết nó? $k \in \mathbb{N}$ $G$ $G$ $\leq k$

— a3nm
nguồn

Câu hỏi thú vị, chúc mừng cho việc khởi động lại cuộc khảo sát. Để kiếm được 2 xu, tôi tin rằng nguồn ban đầu cho chứng minh thời gian tuyến tính là Bodlaender nhưng yếu tố không đổi được ẩn bởi ký hiệu phức tạp tiệm cận là rất lớn. Có lẽ một spin-off / mở rộng thú vị cho câu hỏi của bạn sẽ là liệu hạn chế phẳng cho phép một yếu tố không đổi thực tế hơn trong bối cảnh này?

— Fasermaler

Tôi nghĩ rằng đó là một "vấn đề nổi tiếng và cũ", vì vậy nếu bạn không tìm thấy một bài báo thì có lẽ nó vẫn là một vấn đề mở. Các "bằng chứng" khác: Bài giảng từ khóa học Thuật toán, ứng dụng và triển khai (2015), Bài giảng từ khóa học Đồ thị & thuật toán: Chủ đề nâng cao (2014), Từ điển bách khoa về thuật toán (2008).

— Marzio De Biasi

@Sariel: Nó có thể được tính gần đúng trong một yếu tố không đổi (3/2) bằng cách sử dụng thực tế rằng nó và độ rộng nhánh nằm trong một hằng số của nhau và độ rộng nhánh có thể được tính trong thời gian đa thức. Ngoài ra, nó có thể được xấp xỉ trong nhật ký cho tất cả các biểu đồ bằng cách sử dụng Leighton tầm Rao; xem kintali.wordpress.com/2010/01/11/appro xấp xỉ

— David Eppstein

@Fasermaler bước đầu tiên trong thuật toán của Bodlaender (và các thuật toán trước đó là FPT nhưng không phải là thời gian tuyến tính) là tính toán phân tách cây gần đúng mà người ta có thể sử dụng lập trình động để tìm ra phân tách tối ưu. Xấp xỉ càng chặt chẽ, bước thứ hai càng nhanh. Vì vậy, thực tế có thể tìm thấy các xấp xỉ chặt chẽ hơn với treewidth phẳng bằng cách sử dụng độ rộng nhánh có thể dẫn đến sự phụ thuộc tốt hơn vào tham số (với chi phí quay trở lại đa thức từ tuyến tính). Nhưng tôi không biết những bài báo phân tích kỹ điều này.

— David Eppstein

α

$\alpha$

O (α)

$O(\alpha)$

O (\sqrt{\log n})

$O(\sqrt{\log n})$

O (1)

$O(1)$

O (\sqrt{\log k})

$O(\sqrt{\log k})$

k

$k$

Theo như tôi biết thì tính đầy đủ của NP trong việc tính toán treewidth của đồ thị phẳng vẫn còn mở. Tài liệu tham khảo gần đây nhất mà tôi biết là một cuộc khảo sát của Bodlaender từ năm 2012 có tên là 'Khả năng xác định tham số cố định của băng thông và đường truyền' xuất hiện trong lễ hội mừng sinh nhật lần thứ 65 của Mike Fellows. Vấn đề được liệt kê trong kết luận của cuộc khảo sát.

— Bart Jansen
nguồn

Cảm ơn! (Và cũng xin cảm ơn @MarzioDeBiasi vì đã gợi ý các tài liệu tham khảo khác.) Chỉ vì tò mò, có ai đó cũng tình cờ biết khi nào vấn đề được đặt ra lần đầu tiên?

— a3nm