Độ phức tạp trường hợp xấu nhất của sàng trường số là gì?

Với hỗn hợp $N\in\Bbb N$ trường số chung rây tốt nhất là thuật toán thừa biết đối với số nguyên nhân tử của $N$ . Nó là một thuật toán ngẫu nhiên và chúng tôi nhận được một phức tạp dự kiến của $O\Big(e^{\sqrt{\frac{64}{9}}(\log N)^{\frac 13}(\log\log N)^{\frac 23}}\Big)$ để tố $N$ .

Tôi đã tìm kiếm thông tin về độ phức tạp trường hợp xấu nhất trên thuật toán ngẫu nhiên này. Tuy nhiên tôi không thể xác định vị trí thông tin.

(1) Độ phức tạp trường hợp xấu nhất của sàng số là gì?

(2) Cũng có thể loại bỏ tính ngẫu nhiên ở đây để đưa ra thuật toán xác định phụ có tính xác định?

Câu trả lời:

Sàng trường số chưa bao giờ được phân tích nghiêm ngặt. Sự phức tạp mà bạn trích dẫn chỉ đơn thuần là heuristic. Thuật toán phụ duy nhất đã được phân tích nghiêm ngặt là thuật toán nhân tố hóa của Dixon , rất giống với rây bậc hai. Theo Wikipedia, thuật toán Dixon của chạy trong thời gian . Thuật toán của Dixon là ngẫu nhiên. $e^{O(2\sqrt{2}\sqrt{\log n\log\log n})}$

Tất cả các thuật toán phụ được biết đến (theo kinh nghiệm) đều yêu cầu ngẫu nhiên. Thuật toán của Dixon cần tìm số nguyên sao cho $x$ trơn tru (có thể được đưa vào một sản phẩm của các số nguyên tố nhỏ) và "ngẫu nhiên", và sàng trường số có các yêu cầu tương tự nhưng phức tạp hơn. Phương pháp đường cong elliptic cần tìm một modulo đường cong elipcó modulo thứ tự một số yếu tố của là trơn tru. Trong cả hai trường hợp, có vẻ khó để biến thành các thuật toán. $x^2 \pmod{n}$ $n$ $n$

Độ phức tạp trường hợp xấu nhất danh nghĩa của tất cả các thuật toán này là vô cùng: trong trường hợp rây bậc hai và rây trường số bạn có thể luôn tạo cùng một , trong khi trong phương pháp đường cong elip bạn có thể luôn tạo ra cùng một đường cong elip . Có nhiều cách xoay quanh vấn đề này, ví dụ chạy song song thuật toán thời gian theo cấp số nhân. $x$

— Yuval Filmus
nguồn

Vì bạn cũng đã chạm vào ECM: chúng tôi biết một thuật toán ngẫu nhiên phụ khai thác để tính

trong

n! r

$n!r$

thời gian sử dụng ECM trong đó

không xác định và ngẫu nhiên. Bạn có ước tính có bao nhiêu thử nghiệm của thuật toán này đủ để có được

và

trong đó

O (e x p (\sqrt{\log n}))

$O(exp(\sqrt{\log n}))$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

Tôi không có ý kiến gì

là, nhưng nói chung, khi chọn tham số trong ECM, chúng ta đang cân bằng giữa xác suất

rằng đường cong đủ mịn và thời gian chạy

cần thiết để kiểm tra từng đường cong. Thông thường các điểm cân bằng là khi

. Vì vậy, số lượng dự kiến của các thử nghiệm nên

n! r

$n!r$

p

$p$

T

$T$

1 / p \approx T

$1/p \approx T$

O (\exp \sqrt{\log n})

$O(\exp\sqrt{\log n})$

— Yuval Filmus

là giai thừa của

. Đây là một vấn đề mở để có được độ phức tạp của đường thẳng. Chúng tôi biết làm thế nào để tính

trong đó

là ẩn số trong thời gian khai thác. Nếu chúng ta biết hai

khác nhau

và

, chúng ta có thể nhận được

trong thời gian khai thác nếu

n!

$n!$

n

$n$

n! r

$n!r$

r

$r$

n! r

$n!r$

n! s

$n!s$

(n! r, n! s) = n!

$(n!r,n!s)=n!$

(r, s) = 1

$(r,s)=1$

Tôi nhớ tính toán một lúc trước. Tôi không nghĩ rằng tôi có thể có được một sự cải thiện vì có một nhược điểm và tôi không nhớ các chi tiết.

đoạn cuối có vẻ lạ & có thể được làm rõ hơn. bạn đang nói về một kịch bản mà RNG bị "phá vỡ" theo nghĩa nó không lấy mẫu không gian phân phối tổng thể? Nhưng sau đó sẽ không song song không giúp đỡ ở đó? bởi vì nó sẽ là RNG "bị hỏng" song song? hoặc là ý tưởng nó sẽ là một RNG khác nhau chạy song song? thực sự phức tạp song song của các thuật toán bao thanh toán thực sự là một chủ đề phức tạp khác, ví dụ một số có thể song song tốt hơn các thuật toán khác, big-O có thể không được áp dụng chính xác, v.v.

— vzn

Trong vài tháng qua, một phiên bản của sàng trường số đã được phân tích nghiêm ngặt: http://www.fields.utoronto.ca/talks/rigious-analysis-randomized-number-field-sieve-factoring

Về cơ bản thời gian chạy trường hợp xấu nhất là vô điều kiện và dưới GRH. Đây không phải là cho sàng trường số "cổ điển", mà là một phiên bản sửa đổi một chút, ngẫu nhiên nhiều bước hơn để làm cho việc phân tích độ phức tạp dễ dàng hơn. $L_n(1/3, 2.77)$ $L_n(1/3, (64/9)^{1/3})$

Tôi tin rằng giấy tương ứng vẫn đang được xem xét.

Cập nhật: Giấy ra ngay bây giờ. Jonathan D. Lee và Ramarathnam Venkatesan, "Phân tích nghiêm ngặt về sàng trường số ngẫu nhiên", Tạp chí Lý thuyết số 187 (2018), trang 92-159, doi: 10.1016 / j.jnt.2017.10.019

— djao
nguồn

Bạn có thể cung cấp một tài liệu tham khảo đầy đủ hơn, nơi chúng ta có thể tìm hiểu thêm, với tiêu đề, tác giả và nơi xuất bản, để câu trả lời vẫn hữu ích ngay cả khi liên kết ngừng hoạt động?

— DW

Vì kết quả chỉ được công bố gần đây, tôi tin rằng nó hiện đang được xem xét như được nêu trong câu trả lời của tôi, và do đó chưa được công bố. Tôi sẽ cập nhật câu trả lời của mình trong tương lai khi có thông tin xuất bản.

— djao

FWIW dường như không có trên arxiv.org. Tuy nhiên, tác giả là Ramarathnam Venkatesan, có thể giúp tìm kiếm trong tương lai nếu cần thiết.

— Peter Taylor

Đây thực sự là một tác phẩm hai tác giả (JD Lee và R. Venkatesan): cmi.ac.in/activities/ Kẻ

— Sary