Razborov đã chứng minh rằng chức năng khớp đơn điệu không có trong mP . Nhưng chúng ta có thể tính toán kết hợp bằng cách sử dụng một mạch kích thước đa thức với một vài phủ định không? Có một P / poly mạch với phủ nhận rằng tính phù hợp? Sự đánh đổi giữa số lượng phủ định và kích thước cho phù hợp là gì?$O(n^\epsilon)$

Markov đã chứng minh rằng bất kỳ chức năng nào của đầu vào đều có thể được tính toán chỉ với ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ phủ định. Một phiên bản xây dựng hiệu quả đã được mô tả bởi Fisher. Xem thêm một giải trình về kết quả từ blog GLL .$n$$\lceil \log (n+1)\rceil$

Chính xác hơn:

Định lý: Giả sử được tính bằng một mạch C với g cửa, sau đó nó cũng được tính bằng một mạch C * với 2 g + O ( n 2 log 2 n ) cổng và ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ phủ định.$f : \{0,1\}^n \to \{0,1\}^m$$C$$g$$C^*$$2g + O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$

Ý tưởng chính là thêm cho mỗi dây trong C một dây parellel w ' trong C * luôn mang sự bổ sung của w . Trường hợp cơ sở là cho dây đầu vào: Fisher mô tả làm thế nào để xây dựng một mạch đảo ngược tôi ( x ) = ¯ x với O ( n 2 log 2 n ) cửa và chỉ ⌈ log ( n + 1 ) ⌉ phủ nhận. Đối với cổng AND của mạch C , chúng ta có thể tăng $w$$C$$w'$$C^*$$w$$I(x) = \overline x$$O(n^2 \log^2 n)$$\lceil \log (n+1) \rceil$$C$ với một ' = b ' ∨ c ' , và tương tự như vậy cho HOẶC cửa. Cổng KHÔNG trong C không có gì, chúng tôi chỉ trao đổi vai trò của w và w ′ ở hạ lưu của cổng KHÔNG. Theo cách này, toàn bộ mạch bên cạnh mạch con biến tần là đơn điệu.$a = b \land c$$a' = b' \lor c'$$C$$w$$w'$

Mark Markov. Về sự phức tạp đảo ngược của một hệ thống các chức năng. J. ACM , 5 (4): 331 Công viên, 1958.

MJ Fischer. Sự phức tạp của các mạng giới hạn phủ định - Một khảo sát ngắn. Trong lý thuyết tự động và ngôn ngữ chính thức , 71 Từ82, 1975

Cách tính nghịch đảo của bit bằng cách sử dụng n phủ định$2^n-1$$n$

$x_0, \ldots, x_{2^n-1}$$i<j$$x_i \ge x_j$

Chúng tôi xác định mạch nghịch đảo cho bit I n ( → x ) quy nạp: Đối với trường hợp cơ sở chúng tôi có n = 1 và bit) và một cổng phủ sử dụng ∧ và ∨ cửa. Chúng tôi sử dụng phủ định để tính ¬ $2^n-1$$I^n(\vec{x})$$n=1$$I^1_0(\vec{x}) := \lnot x_0$$m=2^{n-1}$$I^n$$2m+1$$I^{n-1}$$m$$\land$$\lor$ . Đối với i < m để y i : = ( x i ∧ ¬ x m ) ∨ x m + i . Chúng tôi sử dụng I n - 1 để đảo ngược → y . Bây giờ chúng ta có thể định nghĩa I n như sau:$\lnot x_m$$i<m$$y_i := (x_i \land \lnot x_m) \lor x_{m+i}$$I^{n-1}$$\vec{y}$$I^n$

$\vec{x}$$x_n$$\vec{x}$

Từ Michael J. Fischer, Sự phức tạp của các mạng giới hạn phủ định - một khảo sát ngắn gọn, 1975.