Các mối quan hệ giữa các giả thuyết trong lý thuyết phức tạp hạt mịn là gì?

Lý thuyết phức tạp, thông qua các khái niệm như tính đầy đủ NP, phân biệt giữa các vấn đề tính toán có giải pháp tương đối hiệu quả và các vấn đề khó hiểu. Độ phức tạp "hạt mịn" nhằm mục đích tinh chỉnh sự khác biệt định tính này thành một hướng dẫn định lượng về thời gian chính xác cần thiết để giải quyết vấn đề. Thông tin chi tiết có thể được tìm thấy ở đây: http : //simons.ber siêu.edu / program / complexity2015

Dưới đây là một số giả thuyết quan trọng:

ETH: $3$ - $SAT$ đòi hỏi $2^{\delta n}$ lần đối với một số $\delta > 0$ .

SETH: đối với mỗi $\varepsilon > 0$ , có một $k$ đến nỗi $k$ - $SAT$ trên $n$ biến, $m$ khoản không thể được giải quyết trong $2^{(1-\varepsilon)n}~poly~m$ thời gian.

Được biết, SETH mạnh hơn ETH và họ cả hai đều mạnh hơn $P \neq NP$ , và cả hai mạnh hơn $FTP\neq W[1]$ .

Bốn phỏng đoán quan trọng khác:

1. 3SUM Conjecture: 3SUM vào số nguyên trong { - n 3 , ... , n 3 } đòi hỏi n 2 - o ( 1 ) thời gian$n$$\{-n^3,…,n^3\}$$n^{2-o(1)}$

2. Phỏng đoán OV: Các vectơ trực giao trên vectơ cần n 2 - o ( 1 ) thời gian.$n$$n^{2-o(1)}$

3. Phỏng đoán APSP: Tất cả các cặp Đường dẫn ngắn nhất trên nút và trọng số bit O ( log n ) yêu cầu n 3 - o ( 1 ) thời gian.$n$$O(\log n)$$n^{3-o(1)}$

4. Phỏng đoán BMM: Bất kỳ thuật toán "tổ hợp" nào cho phép nhân ma trận Boolean đều cần $n^{3-o(1)}$ thời gian.

Được biết, SETH ngụ ý phỏng đoán OV (Ryan Willams, 2004). Bên cạnh bằng chứng của Ryan rằng SETH$\implies$ Phỏng đoán OV, không có sự cắt giảm nào khác liên quan đến các phỏng đoán đã biết.

Câu hỏi của tôi: Bạn có biết các giả thuyết hoặc phỏng đoán liên quan khác trong lĩnh vực này? Các mối quan hệ giữa họ là gì?

Lời cảm ơn: kết quả được liệt kê là từ các slide của Virginia Vassilevska Williams, cô ấy cũng cho tôi câu trả lời một phần cho câu hỏi này.

Liên kết đến các slide: http://theory.stanford.edu/~virgi/overview.pdf

Đây là một bài báo gần đây giới thiệu Giả thuyết Thời gian theo hàm mũ mạnh mẽ không phá hủy (NSETH), là một phần mở rộng của SETH.

NSETH: Đối với mỗi , có một k đến nỗi k -DNF-Taut không thể được giải quyết trong thời gian không xác định 2 ( 1 - ε ) n .$\epsilon >0$$k$$k$$2^{(1-\epsilon)n}$

NSETH ngụ ý SETH. Nếu NSETH là đúng, thì một số vấn đề không có giới hạn thấp hơn SETH (vì chúng có thuật toán không xác định nhanh hơn thuật toán xác định).

Bài viết này cũng giới thiệu Giả thuyết Thời gian theo cấp số nhân không đồng nhất (NUNSETH) không đồng nhất, một giả thuyết mạnh hơn NSETH và SETH.

$\epsilon >0$$k$$k$$2^{(1-\epsilon)n}$

$k$$k$

Đây không phải là loại mối quan hệ chính xác mà bạn đang tìm kiếm, nhưng có một bài báo FOCS thú vị cho thấy rằng một vấn đề tự nhiên gọi là "Tam giác phù hợp" khó thực hiện theo bất kỳ phỏng đoán nào của SETH, 3SUM hoặc APSP (xem tại đây ). Hiện tại vẫn chưa biết liệu có bất kỳ phỏng đoán nào trong số ba phỏng đoán này ngụ ý lẫn nhau theo bất kỳ cách thú vị nào hay không - đây là một trong những câu hỏi mở lớn về Độ phức tạp hạt mịn.

$O(n^{2-\epsilon})$

• Chỉnh sửa khoảng cách không thể được tính toán trong thời gian chinh phục mạnh mẽ (trừ khi SETH sai) / Backurs, Indyk

• Bản đồ mới theo dõi các giới hạn của tính toán / Pavlus, tạp chí Quanta

• Trong 40 năm, các nhà khoa học máy tính đã tìm kiếm một giải pháp không tồn tại / Quả cầu Boston

• Bằng chứng khó hiểu / Blog của RJLipton

$O(n^{2-\epsilon})$

• Quyết định sự trống rỗng của giao điểm của các ngôn ngữ thông thường trong thời gian phụ / cstheory SE

$k$$n^{o(k)}$$NL \subsetneq P$

• Kết quả độ cứng cho giao lộ Không trống rỗng / Wehar

dọc theo những dòng này, điều đáng nói là có một mối liên hệ quan trọng đã biết giữa các công trình DFA và tính toán khoảng cách Levenshtein, ví dụ như trong bài viết này

• Chỉnh sửa chuỗi nhanh với Levenshtein automata / Shulz, Mihov